Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade para cima e para baixo, extremos relativos, pontos de inflexão e um esboço da curva. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada para monotonicidade e o teste da segunda derivada para concavidade, além de calcular valores de
nos pontos críticos.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Fatorando temos
logo os pontos críticos são
Passo 3
Para determinar onde
cresce ou decresce analisamos o sinal de
em cada intervalo entre os pontos críticos:
- Em
escolhemos : , logo decresce. - Em
escolhemos : , logo cresce. - Em
escolhemos : , logo decresce. - Em
escolhemos : , logo cresce.
Passo 4
Calculamos a segunda derivada:
Os pontos de mudança de concavidade (pontos de inflexão candidatos) são
e
.
Passo 5
Determinamos onde
é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo):
- Em
: ambos e tornam , concavidade para cima. - Em
: temos mas , logo , concavidade para baixo. - Em
: ambos fatores positivos, , concavidade para cima.
Passo 6
Classificamos e calculamos os valores de
nos pontos críticos e de inflexão:
- Em
a derivada muda de negativa para positiva mínimo local. - Em
a derivada muda de positiva para negativa máximo local. - Em
a derivada muda de negativa para positiva mínimo local. - Pontos de inflexão em
e , com
Passo 7
Esboço qualitativo da curva:
- Para
, (é polinomial de grau par com coeficiente positivo). - Desce até o mínimo em
, sobe até o máximo em , desce até o mínimo em e depois sobe indefinidamente. - A concavidade troca em
(passando de cima para baixo) e em (de baixo para cima), gerando inflexões nos pontos calculados.
Resposta
A função é crescente em
e decrescente em
A concavidade é para cima em
e para baixo em
Os extremos relativos são:
mínimos locais em e
, e máximo local em
.
Os pontos de inflexão são e
.
O esboço apresenta forma de “W” suave de um polinômio de grau quatro, com dois vales, um pico e inflexões em e
.
mínimos locais em
Os pontos de inflexão são
O esboço apresenta forma de “W” suave de um polinômio de grau quatro, com dois vales, um pico e inflexões em