Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
f(x)=x^{4}+6 x^{3}-24 x^{2}+24

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{4}+6x^{3}-24x^{2}+24
e pede: intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade para cima e para baixo, extremos relativos, pontos de inflexão e um esboço da curva. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada para monotonicidade e o teste da segunda derivada para concavidade, além de calcular valores de f nos pontos críticos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+6x^{3}-24x^{2}+24\bigr) =4x^{3}+18x^{2}-48x.
Fatorando temos
f'(x)=4x\bigl(x^{2}+\tfrac{9}{2}x-12\bigr) =4x\Bigl(x-\frac{-9+\sqrt{273}}{4}\Bigr)\Bigl(x-\frac{-9-\sqrt{273}}{4}\Bigr),
logo os pontos críticos são
x=0,\quad x=\frac{-9+\sqrt{273}}{4}\approx1,8805,\quad x=\frac{-9-\sqrt{273}}{4}\approx-6,3805.

Passo 3

Para determinar onde f cresce ou decresce analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo entre os pontos críticos:
  • Em x< -6,3805 escolhemos x=-10: f'(-10)<0, logo f decresce.
  • Em -6,3805<x<0 escolhemos x=-1: f'(-1)>0, logo f cresce.
  • Em 0<x<1,8805 escolhemos x=1: f'(1)<0, logo f decresce.
  • Em x>1,8805 escolhemos x=2: f'(2)>0, logo f cresce.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}+18x^{2}-48x) =12x^{2}+36x-48 =12\bigl(x^{2}+3x-4\bigr) =12(x+4)(x-1).
Os pontos de mudança de concavidade (pontos de inflexão candidatos) são x=-4 e x=1.

Passo 5

Determinamos onde f''(x) é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo):
  • Em x< -4: ambos (x+4)<0 e (x-1)<0 tornam f''(x)>0, concavidade para cima.
  • Em -4<x<1: temos (x+4)>0 mas (x-1)<0, logo f''(x)<0, concavidade para baixo.
  • Em x>1: ambos fatores positivos, f''(x)>0, concavidade para cima.

Passo 6

Classificamos e calculamos os valores de f nos pontos críticos e de inflexão:
  • Em x=-6,3805 a derivada muda de negativa para positiva \Rightarrow mínimo local. f(-6,3805)\approx -854,80.
  • Em x=0 a derivada muda de positiva para negativa \Rightarrow máximo local. f(0)=24.
  • Em x=1,8805 a derivada muda de negativa para positiva \Rightarrow mínimo local. f(1,8805)\approx -8,47.
  • Pontos de inflexão em x=-4 e x=1, com f(-4)=-488,\quad f(1)=7.

Passo 7

Esboço qualitativo da curva:
  • Para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty (é polinomial de grau par com coeficiente positivo).
  • Desce até o mínimo em \bigl(-6,38,\,-854,8\bigr), sobe até o máximo em (0,24), desce até o mínimo em (1,8805,\,-8,47) e depois sobe indefinidamente.
  • A concavidade troca em -4 (passando de cima para baixo) e em 1 (de baixo para cima), gerando inflexões nos pontos calculados.

Resposta

A função é crescente em
(-6,3805,\,0)\,\cup\,(1,8805,\,+\infty)
e decrescente em
(-\infty,\,-6,3805)\,\cup\,(0,\,1,8805).
A concavidade é para cima em
(-\infty,\,-4)\,\cup\,(1,\,+\infty)
e para baixo em
(-4,\,1).
Os extremos relativos são:
mínimos locais em \bigl(-6,3805,\,-854,80\bigr) e \bigl(1,8805,\,-8,47\bigr), e máximo local em (0,\,24).
Os pontos de inflexão são \bigl(-4,\,-488\bigr) e (1,\,7).
O esboço apresenta forma de “W” suave de um polinômio de grau quatro, com dois vales, um pico e inflexões em -4 e 1.

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