Determine a linearização no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=(4 x^3+3 x-1)^7

Passo 1

Queremos a linearização de f em x0=0. Isso significa usar a aproximação de primeira ordem (reta tangente)
L(x)=f(x0)+f'(x0),(x-x0)
Então precisamos de f(0) e de f'(0).

Passo 2

Calcular f(0). Como
f(x)=l(4x^3+3x-1r)^7,
então
f(0)=l(4cdot0^3+3cdot0-1r)^7=(-1)^7=-1

Passo 3

Determinar a derivada f'(x) usando a regra da cadeia. Se g(x)=4x^3+3x-1, então
f(x)=l(g(x)r)^7 Longrightarrow f'(x)=7,l(g(x)r)^6;g'(x)
E
g'(x)=12x^2+3,
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f'(x)=7,(4x^3+3x-1)^6,(12x^2+3)

Passo 4

Avaliar f'(0). Temos
(4cdot0^3+3cdot0-1)^6=(-1)^6=1 e 12cdot0^2+3=3,
então
f'(0)=7cdot1cdot3=21

Passo 5

Construir a linearização em x0=0:
L(x)=f(0)+f'(0),(x-0)=-1+21,x

Resposta

A linearização de f em x0=0 é
L(x)=-1+21x

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