Usando a regra da cadeia, determine y^prime, sendo:
y=(x^2+1)^2(x^3-2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede y' para
y = l(x^2+1r)^2,l(x^3-2xr)^2,
ou seja, temos um produto de duas potências. Para resolver, vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para cada fator.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^2+1, v(x) = x^3-2x,
de modo que
y = l(u(x)r)^2,l(v(x)r)^2
Pela regra do produto,
y' = ddxl(u^2r),v^2 + u^2,ddxl(v^2r)
E pela regra da cadeia:
ddxl(u^2r)=2u,u', ddxl(v^2r)=2v,v'

Passo 3

Agora calculamos as derivadas internas:
u'(x) = ddxl(x^2+1r) = 2x, v'(x) = ddxl(x^3-2xr) = 3x^2-2

Passo 4

Substituindo em y':
y' = l(2u,u'r),v^2 + u^2,l(2v,v'r) = 2,(x^2+1),(2x),(x^3-2x)^2 + 2,(x^2+1)^2,(x^3-2x),(3x^2-2)
Fatorando 2(x^2+1)(x^3-2x):
y' = 2,(x^2+1),(x^3-2x)l[2x,(x^3-2x)+(x^2+1),(3x^2-2)r]

Passo 5

Somando os termos dentro do colchete:
2x,(x^3-2x) = 2x^4-4x^2, (x^2+1),(3x^2-2)=3x^4+x^2-2,
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2x^4-4x^2+3x^4+x^2-2 = 5x^4-3x^2-2
Portanto, a forma final é
y' = 2,(x^2+1),(x^3-2x),l(5x^4-3x^2-2r)

Resposta

y' = 2,(x^2+1),(x^3-2x),l(5x^4-3x^2-2r)

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