Calcule as derivadas das funções:
y=x log 4(x)-x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
y = x log4(x) - x,
e queremos encontrar y'=dydx. Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada do logaritmo em base a.

Passo 2

Seja u(x)=x e v(x)=log4(x). Pela regra do produto,
ddxl(xlog4(x)r) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 1cdot log4(x) + xcdot ddxl(log4(x)r)
Além disso, a derivada de -x é -1.

Passo 3

Para derivar log4(x), usamos a mudança de base:
log4(x) = ln(x)ln(4),
portanto
ddxl(log4(x)r) = 1ln(4)cdotddxl(ln(x)r) = 1ln(4)cdot1x = 1x,ln(4)

Passo 4

Substituindo em ddx(xlog4(x)) e somando a derivada de -x, obtemos
y' = log4(x) + xcdot1x,ln(4) - 1 = log4(x) + 1ln(4) - 1

Resposta

y' = log4(x) + 1ln(4) - 1

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