Determine a localização e o tipo das singularidades das seguintes funções no plano finito e no infinito. No caso de pólos, diga também qual é a ordem.
\cot z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as singularidades de \cot(z^2) no plano finito e em z=\infty, classificá-las (pólo ou outro tipo) e, no caso de pólos, indicar sua ordem. O conteúdo que vamos usar é que a função \cot w é meromorfa com polos simples em
w = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
e possui singularidade essencial em w=\infty. A partir daí, compomos com w=z^2.

Passo 2

Para achar as singularidades finitas de \cot(z^2), resolvemos
z^2 = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo, os pontos críticos são
z = \pm \sqrt{k\pi},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Determinamos a ordem de cada polo:
– Quando k\neq0, em z_0=\pm\sqrt{k\pi} temos z^2-k\pi com derivada 2z_0\neq0. Como \cot w tem pólo simples em w=k\pi, por composição cada z_0 é pólo simples de \cot(z^2).
– Quando k=0, em z=0 temos w=z^2 com zero de ordem 2. A expansão de \cot w perto de w=0 é
\cot w = \frac1w - \frac w3 + \cdots,
logo
\cot(z^2)\sim \frac1{z^2}-\frac{z^2}3+\cdots
e isso mostra que z=0 é pólo de ordem 2.

Passo 4

Para z=\infty, examinamos f(1/w)=\cot\bigl((1/w)^2\bigr)=\cot(1/w^2) quando w\to0. Sabemos que \cot w tem singularidade essencial em w=\infty, o que se traduz em singularidade essencial de \cot(z^2) em z=\infty.

Resposta

As singularidades finitas de \cot(z^2) são
z = \pm\sqrt{k\pi},\;k\in\mathbb{Z},
sendo pólos de ordem 1 para k\neq0 e pólo de ordem 2 em z=0. Em z=\infty, \cot(z^2) tem singularidade essencial.

Exercícios de Livros Relacionados