Determine a localização e o tipo das singularidades das seguintes funções no plano finito e no infinito. No caso de pólos, diga também qual é a ordem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as singularidades de
no plano finito e em
, classificá-las (pólo ou outro tipo) e, no caso de pólos, indicar sua ordem. O conteúdo que vamos usar é que a função
é meromorfa com polos simples em
e possui singularidade essencial em
. A partir daí, compomos com
.
Passo 2
Para achar as singularidades finitas de
, resolvemos
Logo, os pontos críticos são
Passo 3
Determinamos a ordem de cada polo:
– Quando
, em
temos
com derivada
. Como
tem pólo simples em
, por composição cada
é pólo simples de
.
– Quando
, em
temos
com zero de ordem 2. A expansão de
perto de
é
logo
e isso mostra que
é pólo de ordem 2.
Passo 4
Para
, examinamos
quando
. Sabemos que
tem singularidade essencial em
, o que se traduz em singularidade essencial de
em
.
Resposta
As singularidades finitas de
são
sendo pólos de ordem 1 para
e pólo de ordem 2 em
. Em
,
tem singularidade essencial.