Considere as desigualdades:
4 y+3 x <= 12, 0 <= x e 0 <= y.
Classifique as proposições abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) O conjunto de soluções das desigualdades é limitado no plano ( x, y ).
b) 0 valor máximo da variável x satisfazendo as desigualdades é 4 .
c) O conjunto de soluções das desigualdades não é limitado no plano ( x, y ).
d) O valor mínimo da variável y satisfazendo as desigualdades é 3 .
e) O valor máximo da variável y satisfazendo as desigualdades é 3 .

Passo 1

O enunciado dá o sistema de desigualdades
3x + 4y <= 12, 0 <= x, 0 <= y
no plano (x,y). O conteúdo é estudo de região viável definida por inequações lineares, onde vamos analisar se o conjunto é limitado e quais são os valores extremos de x e y.

Passo 2

Para entender a região, achamos as interseções da reta 3x+4y=12 com os eixos:
eixo (x) (colocando (y=0)): 3x=12implies x=4,
eixo (y) (colocando (x=0)): 4y=12implies y=3
Além disso, temos o ponto (0,0). Logo, a região viável é o triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (0,3).

Passo 3

a) Como a região é esse triângulo fechado (polígono convexo com número finito de vértices), ela é limitada.
Logo, a) é Verdadeira.

Passo 4

b) O maior valor de x ocorre no vértice (4,0). Portanto, o valor máximo de x é 4.
Logo, b) é Verdadeira.

Passo 5

c) Dado que a região é limitada (é um triângulo), a proposição “não é limitado” é falsa.
Logo, c) é Falsa.

Passo 6

d) O menor valor de y na região ocorre no ponto (0,0), ou seja, é 0, não 3.
Logo, d) é Falsa.

Passo 7

e) O maior valor de y ocorre no vértice (0,3), portanto é 3.
Logo, e) é Verdadeira.

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) F
e) V

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