Determine a medida do ângulo do setor circular resultante do desenvolvimento sobre um plano da superfície lateral de um cone cuja altura e cujo raio estão na razão
.
Passo 1
O enunciado pede a medida do ângulo central do setor circular que resulta do desenvolvimento da superfície lateral de um cone, sabendo que altura e raio satisfazem
. Vamos usar geometria de cones e conservação de área lateral.
Passo 2
Introduzimos um parâmetro
tal que
A geratriz
do cone vem do teorema de Pitágoras no triângulo formado por
,
e
:
Passo 3
A área lateral do cone é
Passo 4
Ao desenvolver essa superfície, obtemos um setor de círculo de raio
e ângulo central
. A área do setor é
Passo 5
Igualando as áreas para conservar a superfície lateral:
Cancelando
e isolando
:
Resposta
A medida do ângulo central do setor é
radianos, o que equivale a
.