Determine a medida do ângulo do setor circular resultante do desenvolvimento sobre um plano da superfície lateral de um cone cuja altura e cujo raio estão na razão 34.

Passo 1

O enunciado pede a medida do ângulo central do setor circular que resulta do desenvolvimento da superfície lateral de um cone, sabendo que altura e raio satisfazem hr=34. Vamos usar geometria de cones e conservação de área lateral.

Passo 2

Introduzimos um parâmetro k>0 tal que
h = 3k, r = 4k
A geratriz s do cone vem do teorema de Pitágoras no triângulo formado por h, r e s:
s = raizh^2 + r^2 = raiz(3k)^2 + (4k)^2 = 5k

Passo 3

A área lateral do cone é
Acone = pi , r , s = pi cdot (4k)cdot (5k) = 20pi,k^2

Passo 4

Ao desenvolver essa superfície, obtemos um setor de círculo de raio s e ângulo central alpha. A área do setor é
Asetor = alpha2pi,l(pi,s^2r) = alpha,s^22 = alpha,(5k)^22 = 25,alpha,k^22

Passo 5

Igualando as áreas para conservar a superfície lateral:
20pi,k^2 = 25,alpha,k^22
Cancelando k^2 e isolando alpha:
40pi = 25alpha Longrightarrow alpha = 40pi25 = 8pi5

Resposta

A medida do ângulo central do setor é alpha = 8pi5 radianos, o que equivale a 8pi5times180pi=288^circ.

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