10 Determine o menor número positivo
tal que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor número positivo
que satisfaz a equação trigonométrica\r
O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação quadrática em
seguida de determinação das soluções trigonométricas e escolha do menor valor positivo.
Passo 2
Fazemos a substituição
, reduzindo o problema à equação algébrica\r
Aplicando a fórmula de Bhaskara, calculamos o discriminante:\r
As raízes são\r
ou seja,\r
Logo, as soluções vêm de
ou
.
Passo 3
Para
, sabemos que\r
O menor valor positivo dessa família é\r
Passo 4
Para
, a solução principal (no primeiro quadrante) é dada por\r
que está em
e, numericamente, vale aproximadamente
.
Passo 5
Comparando as duas soluções positivas principais:\r
e
,\r
vemos que o menor número positivo que resolve a equação é\r
.
vemos que o menor número positivo que resolve a equação é\r