10 Determine o menor número positivo x tal que
3 \operatorname{sen}^{2} x-4 \operatorname{sen} x+1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor número positivo x que satisfaz a equação trigonométrica\r
3\operatorname{sen}^{2}x - 4\operatorname{sen} x + 1 = 0.\r
O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação quadrática em \operatorname{sen} x seguida de determinação das soluções trigonométricas e escolha do menor valor positivo.

Passo 2

Fazemos a substituição u = \operatorname{sen} x, reduzindo o problema à equação algébrica\r
3u^{2} - 4u + 1 = 0.\r
Aplicando a fórmula de Bhaskara, calculamos o discriminante:\r
\Delta = (-4)^{2} - 4\cdot3\cdot1 = 16 - 12 = 4.\r
As raízes são\r
u = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2\cdot3} = \frac{4 \pm 2}{6},\r
ou seja,\r
u_{1} = 1,\quad u_{2} = \frac{1}{3}.\r
Logo, as soluções vêm de \operatorname{sen} x = 1 ou \operatorname{sen} x = \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Para \operatorname{sen} x = 1, sabemos que\r
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.\r
O menor valor positivo dessa família é\r
x = \frac{\pi}{2}\approx1{,}5708.

Passo 4

Para \operatorname{sen} x = \tfrac{1}{3}, a solução principal (no primeiro quadrante) é dada por\r
x = \arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr),\r
que está em (0,\pi/2) e, numericamente, vale aproximadamente 0{,}3398.

Passo 5

Comparando as duas soluções positivas principais:\r
\arcsin(\tfrac{1}{3})\approx0{,}3398 e \tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708,\r
vemos que o menor número positivo que resolve a equação é\r
\arcsin(\tfrac{1}{3}).

Resposta

\displaystyle x = \arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\approx0{,}3398 rad.

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