Determine a imagem das funções definidas em R.
y=-x^2+32 x+1

Passo 1

O enunciado pede a imagem da função quadrática definida em R:
y = -x^2 + tfrac32x + 1
O conteúdo é estudo de função polinomial de segundo grau, em que usamos concavidade e vértice para determinar o valor máximo (ou mínimo) e, a partir daí, a imagem.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de x^2. Como o termo quadrático é -x^2, o coeficiente a = -1 é negativo, logo a parábola tem concavidade voltada para baixo e atinge um valor máximo em seu vértice.

Passo 3

Calculamos a abscissa do vértice pela fórmula
xv = -b2a,
onde b = tfrac32 e a = -1. Assim,
xv = -tfrac322cdot(-1) = 34

Passo 4

Agora avaliamos y em xv = tfrac34:
yv = -l(tfrac34r)^2 + tfrac32cdottfrac34 + 1 = -tfrac916 + tfrac98 + 1 = -tfrac916 + tfrac1816 + tfrac1616 = tfrac2516

Passo 5

Como a parábola tem concavidade para baixo, o valor tfrac2516 é o máximo, e não há limite inferior para y. Logo, a imagem é
(-infty,;tfrac2516]

Resposta

Im(f)=(-infty,tfrac2516]

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