Determine m de modo que a equação m x^2-(2 m+1) x+2+m=0 tenha raízes reais tais que -1<x1<x2.

Solução

Considerando f(x)=m x^2-(2 m+1) x+2+m.
Para que aconteça -1<x1<x2, em que x1 e x2 são as raízes reais de m x^2-(2 m+1) x+2+m=0, devemos ter:
a cdot f(-1)>0, De<a >= 0 e S2>-1
Analisando separadamente cada condição:
1a) a cdot f(-1)>0 Rightarrow underbracema cdot underbrace[m(-1)^2-(2 m+1) cdot(-1)+2+m]f(-1)>0 Rightarrow
Rightarrow m cdot(4 m+3)>0 Rightarrow m<-34 ou m>0
2a) De<a >= 0 Rightarrow(2 m+1)^2-4 cdot m(2+m) >= 0 Rightarrow-4 m+1 >= 0 Rightarrow m <= 14
3a) S2>-1 Rightarrow 2 m+12 m>-1 Rightarrow 2 m+12 m+1>0 Rightarrow 4 m+12 m>0 Rightarrow Rightarrow m<-14 ou m>0
Representando os valores encontrados sobre um eixo.
& (a cdot f(-1)>0) Longrightarrow(De<a >= 0) underbracem14 & (S2>-1)
Como as três condições são simultâneas, fazendo a interseção dos intervalos acima, vamos encontrar:
m<-34 ou 0<m <= 14, que é a resposta é

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar os valores de m tais que a equação
m x^2 - (2m+1)x + 2 + m = 0
tenha duas raízes reais x1<x2 satisfazendo -1 < x1 < x2. Para isso vamos impor simultaneamente três condições:
  1. As raízes sejam reais ( De<a>=0).
  2. Ambas as raízes fiquem do mesmo lado de -1 (teste m,f(-1)>0).
  3. A média das raízes seja maior que -1 ( (x1+x2)/2>-1).

Passo 2

Condição de raízes reais. O discriminante é
De<a = (2m+1)^2 - 4cdot m,(2+m) = -4m + 1
Logo
De<a >= 0 Longrightarrow -4m + 1 >= 0 Longrightarrow m <= tfrac14

Passo 3

Para que as duas raízes fiquem do mesmo lado de -1 calculamos
f(-1) = mcdot(-1)^2 - (2m+1)(-1) + 2 + m = 4m + 3
e usamos
m,f(-1) > 0 Longrightarrow m,(4m+3) > 0 Longrightarrow m < -tfrac34;ou;m > 0

Passo 4

A soma das raízes é x1+x2 = 2m+1m, então a média vale
x1+x22 = 2m+12m
e exigimos
2m+12m > -1 Longrightarrow 4m+12m > 0 Longrightarrow m < -tfrac14;ou;m > 0

Passo 5

Intersecionando as três condições
m <= tfrac14, l(m<-tfrac34 ou m>0r), l(m<-tfrac14 ou m>0r)
obtém-se
m < -tfrac34 ou 0 < m <= tfrac14

Resposta

m<-tfrac34 ou 0<m<=tfrac14.

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