Determine
de modo que a equação
tenha raízes reais tais que
.
Solução
Considerando
.
Para que aconteça
, em que
e
são as raízes reais de
, devemos ter:
Analisando separadamente cada condição:
1a)
Rightarrow m cdot(4 m+3)>0 Rightarrow m<-34 ou
m>0
2a)
De<a >= 0 Rightarrow(2 m+1)^2-4 cdot m(2+m) >= 0 Rightarrow-4 m+1 >= 0 Rightarrow m <= 14
3a)
S2>-1 Rightarrow 2 m+12 m>-1 Rightarrow 2 m+12 m+1>0 Rightarrow 4 m+12 m>0 Rightarrow
Rightarrow m<-14 ou
m>0
Representando os valores encontrados sobre um eixo.
& (a cdot f(-1)>0) Longrightarrow(De<a >= 0) underbracem14 & (S2>-1)
Como as três condições são simultâneas, fazendo a interseção dos intervalos acima, vamos encontrar:
m<-34 ou 0<m <= 14, que é a resposta é
Para que aconteça
1a)
2a)
3a)
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar os valores de
m tais que a equação
tenha duas raízes reais
x1<x2 satisfazendo
-1 < x1 < x2 . Para isso vamos impor simultaneamente três condições:
- As raízes sejam reais (
).De<a>=0 - Ambas as raízes fiquem do mesmo lado de
(teste-1 ).m,f(-1)>0 - A média das raízes seja maior que
(-1 ).(x1+x2)/2>-1
Passo 2
Condição de raízes reais. O discriminante é
Logo
Passo 3
Para que as duas raízes fiquem do mesmo lado de
-1 calculamos
e usamos
Passo 4
A soma das raízes é
x1+x2 = 2m+1m , então a média vale
e exigimos
Passo 5
Intersecionando as três condições
obtém-se