Seja y=-x^2+5 x-1. Dado que x varia no intervalo fechado [0,6], determine o maior ( yM ) e o menor ( ym ) valor que y assume.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
y = -x^2 + 5x - 1
definida no intervalo fechado xin[0,6], e pede o valor máximo yM e mínimo ym que y assume nesse intervalo. Para resolver, vamos usar cálculo de extremos em intervalos fechados: 1) encontrar pontos críticos pela derivada; 2) avaliar y nesses pontos e nos extremos do intervalo; 3) comparar os valores obtidos.

Passo 2

Calculamos a derivada de y em relação a x:
y' = ddxl(-x^2+5x-1r) = -2x + 5
Para achar pontos críticos, resolvemos y'=0:
-2x + 5 = 0 Longrightarrow x = 52

Passo 3

Como tfrac52=2,5 pertence ao intervalo [0,6], avaliamos y em x=2,5:
yl(2,5r) = -l(2,5r)^2 + 5cdot2,5 - 1 = -6,25 + 12,5 - 1 = 5,25

Passo 4

Agora avaliamos y nos extremos do intervalo:
y(0) = -0^2 + 5cdot0 - 1 = -1,
y(6) = -6^2 + 5cdot6 - 1 = -36 + 30 - 1 = -7

Passo 5

Comparando os três valores:
y(0) = -1, yl(2,5r) = 5,25, y(6) = -7,
o maior é 5,25 e o menor é -7.

Resposta

yM = 5,25 e ym = -7.

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