Determine m de modo que a equação (m-3) x^2+2(m-2) x+m+1=0 tenha raízes reais tais que x1<x2<1.

Passo 1

O enunciado pede que a equação
(m-3)x^2+2(m-2)x+(m+1)=0
tenha duas raízes reais x1<x2<1.
Para isso precisamos:
1. Ter duas raízes reais e distintas Rightarrow discriminante >0 e mneq3.
2. Ambas as raízes menores que 1.

Passo 2

Calculemos o discriminante De<a.
De<a = [2(m-2)]^2-4,(m-3)(m+1) =4l[(m-2)^2-(m-3)(m+1)r] =4(7-2m)
Para duas raízes reais e distintas exigimos
De<a>0Longrightarrow 7-2m>0 Longrightarrow m<tfrac72,
e além disso mneq3 para que seja realmente equação quadrática.

Passo 3

Para garantir x1<x2<1 é conveniente usar a mudança
t=1-x,
de modo que as raízes x<1 se traduzem em t>0. Substituindo x=1-t na equação original obtemos uma nova quadrática em t:
(m-3)t^2+(-4m+10),t+(4m-6)=0
Sejam t1,t2 suas raízes; queremos t1>0 e t2>0.

Passo 4

Para uma quadrática A t^2+B t+C=0 com raízes reais, ambas positivas requer:
1. Aneq0 e De<a>0 (já temos isso original).
2. Soma das raízes t1+t2=-tfracBA>0.
3. Produto das raízes t1t2=tfracCA>0.
Aqui A=m-3, B=-4m+10, C=4m-6.
– Soma >0:
-BA=4m-10m-3>0
– Produto >0:
CA=4m-6m-3>0

Passo 5

Resolvendo as duas desigualdades simultâneas junto com m<3,5 e mneq3:
1. 4m-10m-3>0; dá m<2,5 ou m>3.
2. 4m-6m-3>0; dá m<1,5 ou m>3.
3. E já tínhamos m<3,5, mneq3.
Intersecção:
  • Para m<3 as duas condições forçam m<1,5.
  • Para m>3 basta 3<m<3,5.

Resposta

A solução é
min(-infty,1,5);cup;(3,3,5)

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