Determine
de modo que a equação
tenha raízes reais tais que
.
Passo 1
O enunciado pede que a equação
tenha duas raízes reais
.
Para isso precisamos:
. Ter duas raízes reais e distintas
discriminante
e
.
. Ambas as raízes menores que
.
Para isso precisamos:
Passo 2
Calculemos o discriminante
.
Para duas raízes reais e distintas exigimos
e além disso
para que seja realmente equação quadrática.
Passo 3
Para garantir
é conveniente usar a mudança
de modo que as raízes
se traduzem em
. Substituindo
na equação original obtemos uma nova quadrática em
:
Sejam
suas raízes; queremos
e
.
Passo 4
Para uma quadrática
com raízes reais, ambas positivas requer:
.
e
(já temos isso original).
. Soma das raízes
.
. Produto das raízes
.
Aqui
,
,
.
– Soma :
– Soma
– Produto
:
Passo 5
Resolvendo as duas desigualdades simultâneas junto com
e
:
Intersecção:
- Para
as duas condições forçam . - Para
basta .
Resposta
A solução é