Determine
de modo que o número
esteja compreendido entre as raízes da equação:
e
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de
tais que o número
fique estritamente entre as duas raízes reais da equação
O que precisamos usar é: (i) a condição para existirem duas raízes reais e distintas (discriminante positivo) e (ii) o critério de que, para uma parábola
com vértice voltado para cima (
), um ponto
está entre as raízes se e só se
— e, se
, a condição inverte para
.
Passo 2
Calculemos o discriminante da equação em função de
:
Expandindo,
Para ter duas raízes reais e distintas precisamos de
Passo 3
Definimos
. Para que
fique entre as raízes, devemos ter:
- Se
, então ; - Se
, então .
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Analisemos primeiro a possibilidade
.
Nesse caso queremos , ou seja
Nesse caso queremos
Juntando com as outras restrições (
e
), obtemos
Passo 6
Agora, se
, precisaríamos de
, isto é
, ou
, o que é impossível de conciliar com
. Logo não há solução nessa região.
Resposta
Portanto, o valor de
para o qual
fica estritamente entre as raízes é