Determine m de modo que o número alpha esteja compreendido entre as raízes da equação:
m x^2+(2 m-3) x+m-1=0 e alpha=2

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de m tais que o número alpha=2 fique estritamente entre as duas raízes reais da equação
m,x^2 + (2m-3),x + (m-1) = 0
O que precisamos usar é: (i) a condição para existirem duas raízes reais e distintas (discriminante positivo) e (ii) o critério de que, para uma parábola f(x)=a x^2+bx+c com vértice voltado para cima ( a>0), um ponto x0 está entre as raízes se e só se f(x0)<0 — e, se a<0, a condição inverte para f(x0)>0.

Passo 2

Calculemos o discriminante da equação em função de m:
D = (2m-3)^2 - 4cdot mcdot(m-1)
Expandindo,
D = 4m^2 - 12m + 9 ;-; 4m^2 + 4m = 9 - 8m
Para ter duas raízes reais e distintas precisamos de
D > 0 Longrightarrow 9 - 8m > 0 Longrightarrow m < tfrac98

Passo 3

Definimos f(x)=m,x^2+(2m-3)x+(m-1). Para que x=2 fique entre as raízes, devemos ter:
  • Se m>0, então f(2)<0;
  • Se m<0, então f(2)>0.

Passo 4

Vamos calcular f(2):
f(2) = mcdot 2^2 + (2m-3)cdot 2 + (m-1) = 4m + 4m - 6 + m - 1 = 9m - 7

Passo 5

Analisemos primeiro a possibilidade m>0.
Nesse caso queremos f(2)<0, ou seja
9m - 7 < 0 Longrightarrow m < tfrac79
Juntando com as outras restrições ( m>0 e m<tfrac98), obtemos
0 < m < tfrac79

Passo 6

Agora, se m<0, precisaríamos de f(2)>0, isto é 9m-7>0, ou m>tfrac79, o que é impossível de conciliar com m<0. Logo não há solução nessa região.

Resposta

Portanto, o valor de m para o qual alpha=2 fica estritamente entre as raízes é
boxed0 < m < tfrac79

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