Determine
para que a equação do 2 grau
tenha raízes reais tais que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede os valores de
para os quais ela tem duas raízes reais
satisfazendo
Para resolver, vamos aplicar:
- Critério de existência de raízes reais (discriminante).
- Relações de Viète (soma e produto) para garantir raízes positivas.
- Análise do sinal de
para impor .
Passo 2
Condição de raízes reais: o discriminante deve ser positivo,
Dividindo por 4 e expandindo,
Além disso, é preciso
, isto é
.
Passo 3
Para ter as duas raízes reais positivas usamos Viète:
Necessitamos
-
implica , ou seja , logo
-
implica . Como já queremos , fica necessária também , ou seja
Combinando com o intervalo de
, temos por enquanto
Passo 4
Para impor
, observe que como a parábola abre para baixo (
), no ponto
temos fora do intervalo de raízes, logo
Calculamos
A condição
dá
Mas no nosso intervalo
já temos
, então essa condição está automaticamente satisfeita.
Passo 5
Juntando tudo, o único intervalo que garante:
-
, -
, -
, -
,
é