Determine m para que a equação do 2 grau (2 m+1) x^2+2 x+m+1=0 tenha raízes reais tais que 0<x1<x2<4.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
(2m+1)x^2 + 2x + (m+1)=0
e pede os valores de m para os quais ela tem duas raízes reais x1<x2 satisfazendo
0 < x1 < x2 < 4
Para resolver, vamos aplicar:
  1. Critério de existência de raízes reais (discriminante).
  2. Relações de Viète (soma e produto) para garantir raízes positivas.
  3. Análise do sinal de f(4) para impor x2<4.

Passo 2

Condição de raízes reais: o discriminante deve ser positivo,
De<a = b^2 - 4ac = 4 - 4,(2m+1)(m+1) > 0
Dividindo por 4 e expandindo,
1 - l(2m^2 + 3m + 1r) > 0 Long<=ftrightarrow 2m^2 + 3m < 0 Long<=ftrightarrow m(2m+3)<0 Long<=ftrightarrow - tfrac32 < m < 0
Além disso, é preciso 2m+1neq0, isto é mneq -tfrac12.

Passo 3

Para ter as duas raízes reais positivas usamos Viète:
x1 + x2 = -ba = -22m+1, x1x2 = ca = m+12m+1
Necessitamos
x1+x2>0 e x1x2>0
  1. x1+x2>0 implica -2/(2m+1)>0, ou seja 2m+1<0, logo
m< -tfrac12
  1. x1x2>0 implica ,(m+1)/(2m+1)>0. Como já queremos 2m+1<0, fica necessária também m+1<0, ou seja
m< -1
Combinando com o intervalo de De<a>0, temos por enquanto
- tfrac32 < m < -1

Passo 4

Para impor x2<4, observe que como a parábola abre para baixo ( 2m+1<0), no ponto x=4 temos fora do intervalo de raízes, logo
f(4)<0
Calculamos
f(4) = (2m+1)cdot 4^2 + 2cdot4 + (m+1) = 16(2m+1) + 8 + m+1 = 33m +25
A condição f(4)<0
33m +25 < 0 Long<=ftrightarrow m < -tfrac2533approx -0,758
Mas no nosso intervalo -tfrac32 < m < -1 já temos m< -1 < -tfrac2533, então essa condição está automaticamente satisfeita.

Passo 5

Juntando tudo, o único intervalo que garante:
  1. De<a>0,
  2. x1>0,
  3. x2> x1,
  4. x2<4,
    é
-tfrac32 < m < -1

Resposta

m in l(-tfrac32,,-1r)

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