Determine m para que se tenha para forall x in R.
x^2-m x+2x^2-x+2>m

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de m tais que
x^2-m x+2x^2-x+2>m
para todo xinR.
Isso é uma inequação racional com parâmetro m. Para resolver, precisamos analisar o sinal do denominador, multiplicar em ambos os lados (quando for seguro) e estudar a expressão resultante para que seja positiva em todo R.

Passo 2

Observe que o denominador
;x^2-x+2
é sempre positivo, pois seu discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot2 = 1 - 8 = -7 < 0
e o coeficiente de x^2 é positivo. Logo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por x^2-x+2>0 sem mudar o sentido:
x^2-m x+2 ;>; ml(x^2-x+2r)

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito e recolhendo tudo num só membro, temos
x^2-m x+2 ;>; m x^2 - m x + 2m ;;Longrightarrow;; x^2 - m x +2 - m x^2 + m x -2m >0,
que simplifica para
(1 - m),x^2 ;+;(2 - 2m) ;>; 0
Fatorando (1-m), obtemos
(1 - m),(x^2 + 2) > 0

Passo 4

Note que x^2+2>0 para todo x. Portanto, o sinal de (1-m)(x^2+2) é determinado unicamente por 1-m. Para que a expressão seja sempre positiva, precisamos de
1 - m > 0 Longrightarrow m < 1
Se m=1, a expressão fica zero (não estritamente positiva); se m>1, ela fica negativa para todo x.

Resposta

m < 1

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