Determine m de modo que o número alpha esteja compreendido entre as raízes da equação:
m x^2+(m-1) x+(m+2)=0 e alpha=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de m tais que a raiz alpha=0 fique estritamente entre as raízes reais da equação
m x^2 + (m-1)x + (m+2) = 0
Para isso precisamos de duas coisas:
  1. Discriminante maior ou igual a zero (raízes reais).
  2. Condição que garante que 0 esteja entre as raízes.

Passo 2

Calculamos o discriminante De<a:
De<a = (m-1)^2 - 4,m,(m+2) = m^2 - 2m + 1 - 4m^2 - 8m = -3m^2 -10m +1
Queremos De<a >= 0, ou seja
-3m^2 -10m +1 >= 0 Long<=ftrightarrow 3m^2 +10m -1 <= 0
As raízes de 3m^2+10m-1=0 são
m = -10 pm raiz100 +126 = -10 pm 2raiz76 = -5 pm 2raiz73
Logo, as raízes reais ocorrem para
-5 -2raiz73 ;<=; m ;<=;-5 +2raiz73

Passo 3

Para saber quando 0 fica entre as raízes, note que
f(x) = m x^2 + (m-1)x + (m+2) Longrightarrow f(0)=m+2
Se m>0, a parábola abre para cima e 0 fica entre as raízes só se f(0)<0, isto é m+2<0Rightarrow m<-2, impossível com m>0.
Se m<0, a parábola abre para baixo e 0 fica entre as raízes quando f(0)>0, isto é
m+2>0 Longrightarrow m>-2
Portanto, para que 0 esteja estritamente entre as raízes precisamos de
m<0 e m>-2 Longrightarrow -2 < m < 0

Passo 4

Finalmente, intersectamos o intervalo de raízes reais
-5 -2raiz73 <= m <= -5 +2raiz73
com -2 < m < 0. Observando que
-5 -2raiz73approx -3,43 e
-5 +2raiz73approx 0,10,
a interseção é simplesmente
-2 < m < 0

Resposta

-2 < m < 0

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