Responda:
a) 0 que se pretende dizer quando se pede para achar o domínio de uma f(x) igualada a uma expressão em x ?
igualada a uma expressão em x ?
b) Determine, em R, o domínio da função f(x)=raiz-x^2+1x^2-2 x-15.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
a) conceitual – explica o que significa pedir o domínio de uma função f(x) dada por uma expressão em x.
b) prática – determina, em R, o domínio da função
f(x)=raiz-x^2+1x^2-2x-15
Para resolver precisamos entender o que torna uma expressão bem-definida (sem dividir por zero, sem raízes de índice par de número negativo etc.) e depois aplicar isso ao caso concreto.

Passo 2

a) Quando pedem para achar o domínio de uma função f(x) igualada a uma expressão em x, querem dizer: “quais são todos os valores reais de x para os quais essa expressão faz sentido e produz um número real?” Ou seja, o domínio é o conjunto de x que não provoca:
  1. divisão por zero;
  2. radicais de índice par com argumento negativo;
  3. logaritmos de argumento não positivo;
    etc.

Passo 3

b) No caso de
f(x)=raiz-x^2+1x^2-2x-15,
temos duas condições para que f(x) seja real e bem-definida:
  1. o denominador não pode ser zero;
  2. a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.

Passo 4

Vamos fatorar numerador e denominador para identificar os pontos críticos.
-x^2+1 = 1 - x^2 = (1-x)(1+x),
x^2-2x-15 = (x-5)(x+3)
Os zeros de numerador são x=-1 e x=1.
Os zeros de denominador são x=-3 e x=5 (esses valores devem ser excluídos do domínio).

Passo 5

Fazendo o estudo de sinais da fração
dfrac-x^2+1x^2-2x-15>=0, com os pontos críticos -infty,-3,-1,1,5,infty:
Para x<-3: numerador 1-x^2<0, denominador >0, fração <0.
Para -3<x<-1: numerador <0, denominador <0, fração >0.
Para -1<x<1: numerador >0, denominador <0, fração <0.
Para 1<x<5: numerador <0, denominador <0, fração >0.
Para x>5: numerador <0, denominador >0, fração <0.
Além disso, nos pontos x=-1 e x=1 a fração vale zero (podemos incluí-los, pois raiz0=0) e em x=-3,5 a fração não existe (denominador zero).
Logo a condição dfrac-x^2+1x^2-2x-15>=0 se satisfaz em
(-3,-1];cup;[1,5)

Passo 6

Concluímos que o domínio de f em R é
D = (-3,-1];cup;[1,5)

Resposta

a) O domínio de f(x) é o conjunto de todos os valores de x que fazem a expressão em x estar bem-definida (sem divisão por zero, sem raiz de índice par de número negativo etc.).
b) D = (-3,-1]cup[1,5).

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