Determine
de modo que a equação do 2! grau
admita raízes de sinais opostos.
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos a equação do segundo grau
e queremos determinar os valores de
para os quais as raízes são reais e de sinais opostos. Para isso, precisamos que seja de fato uma equação de segundo grau (
), que as raízes existam (
) e que o produto das raízes seja negativo.
Passo 2
Identificamos os coeficientes:
,
,
.
Para ser uma equação de segundo grau, exigimos , ou seja,
Para ser uma equação de segundo grau, exigimos
Passo 3
O produto das raízes de uma equação quadrática é dado por
. Para que as raízes tenham sinais opostos, é necessário e suficiente que
isto é,
Passo 4
Para resolver
estudamos os sinais dos fatores. Os pontos críticos são
,
e
. O sinal da fração é negativo em
sempre lembrando de excluir
.
Passo 5
Nos intervalos
e
verifica-se também
, garantindo raízes reais distintas. Portanto, nesses valores de
as raízes são de sinais opostos.