Determine m de modo que a equação do 2! grau (m^2-4) x^2+m x+m-3=0 admita raízes de sinais opostos.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a equação do segundo grau
(m^2-4)x^2 + m x + (m-3) = 0
e queremos determinar os valores de m para os quais as raízes são reais e de sinais opostos. Para isso, precisamos que seja de fato uma equação de segundo grau ( aneq0), que as raízes existam ( De<a>=0) e que o produto das raízes seja negativo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = m^2 - 4,
b = m,
c = m - 3.
Para ser uma equação de segundo grau, exigimos aneq0, ou seja,
m^2 - 4 neq 0 Longrightarrow mneq pm 2

Passo 3

O produto das raízes de uma equação quadrática é dado por c/a. Para que as raízes tenham sinais opostos, é necessário e suficiente que
ca < 0,
isto é,
m-3m^2-4 < 0

Passo 4

Para resolver
m-3(m-2)(m+2) < 0
estudamos os sinais dos fatores. Os pontos críticos são m=-2, m=2 e m=3. O sinal da fração é negativo em
m < -2 ou 2 < m < 3,
sempre lembrando de excluir m = pm 2.

Passo 5

Nos intervalos m< -2 e 2<m<3 verifica-se também De<a>0, garantindo raízes reais distintas. Portanto, nesses valores de m as raízes são de sinais opostos.

Resposta

m< -2 ou 2<m<3

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