11 Determine um número c tal que a equação
x^{2}+c x+3=0
tenha exatamente uma solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^{2} + c\,x + 3 = 0
e pede um valor de c que torne essa equação com exatamente uma solução. Em teoria de equações quadráticas, isso acontece quando as duas raízes coincidem, ou seja, quando o discriminante é zero.

Passo 2

O discriminante \Delta de uma equação ax^{2}+bx+c=0 é dado por
\Delta = b^{2} - 4ac.
No nosso caso temos a=1, b=c e termo constante igual a 3. Logo,
\Delta = c^{2} - 4\cdot 1 \cdot 3 = c^{2} - 12.

Passo 3

Para que haja exatamente uma solução, impomos
\Delta = 0,
ou seja,
c^{2} - 12 = 0.
Resolvendo,
c^{2} = 12 \quad\Longrightarrow\quad c = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}.

Resposta

Um possível valor de c é
c = 2\sqrt{3}
(ou, equivalentemente, c = -2\sqrt{3}).

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