Determine os pontos em que a reta que passa pela origem com inclinação 4 intercepta a circunferência unitária.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a reta que passa pela origem com inclinação 4, ou seja
y = 4x,
e a circunferência unitária de equação
x^{2} + y^{2} = 1.
O conteúdo aqui é geometria analítica: resolver o sistema formado pela reta e a circunferência.

Passo 2

Substituímos y=4x na equação da circunferência para reduzir a um único incógnita x:
x^{2} + (4x)^{2} = 1.

Passo 3

Simplificamos a equação em x:
x^{2} + 16x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 17x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = \frac{1}{17} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}.

Passo 4

Para cada valor de x, obtemos
y = 4x = \pm \frac{4}{\sqrt{17}},
onde o sinal de y acompanha o de x.

Resposta

Os pontos de interseção são
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}},\,\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{17}},\,-\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).

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