Determine os pontos em que a reta que passa pela origem com inclinação 3 intercepta a circunferência unitária.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a reta de inclinação 3 que passa pela origem e a circunferência unitária. Em coordenadas, a reta é dada por
y = 3x
e a circunferência unitária tem equação
x^2 + y^2 = 1.
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos substituir a equação da reta na equação da circunferência para obter uma equação em x.

Passo 2

Substituindo y=3x em x^2 + y^2 = 1, obtemos
x^2 + (3x)^2 = 1
x^2 + 9x^2 = 1
10x^2 = 1
x^2 = \frac{1}{10}
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x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}.

Passo 3

Para cada valor de x calculamos y=3x. Assim,
\text{se }x = \frac{1}{\sqrt{10}},\;y = 3\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}},
\text{se }x = -\frac{1}{\sqrt{10}},\;y = 3\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{10}}\Bigr) = -\frac{3}{\sqrt{10}}.

Resposta

Os pontos de interseção são
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

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