Determine as raízes racionais dos polinômios:
P(x)=3 x^5-2 x^4-3 x+2

Passo 1

Resumimos que devemos achar as raízes racionais do polinômio
P(x)=3x^5-2x^4-3x+2
O conteúdo usado será o Teorema das Raízes Racionais, que diz que toda raiz racional tfracpq em forma irreduzível satisfaz que p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Para resolver, vamos listar os candidatos, testar e depois usar divisão sintética para fatorar.

Passo 2

Os candidatos racionais são os divisores de 2 sobre os divisores de 3, ou seja
pm1,;pm2,;pmtfrac13,;pmtfrac23
Testando P(1):
P(1)=3-2-3+2=0,
logo x=1 é raiz.

Passo 3

Para retirar o fator (x-1) fazemos divisão sintética de P(x) por x-1. Com coeficientes
(3,,-2,,0,,0,,-3,,2)
e síntese em 1, obtemos como quociente
3x^4 + x^3 + x^2 + x - 2

Passo 4

Chamando
Q(x)=3x^4 + x^3 + x^2 + x - 2,
testamos de novo os candidatos. Em particular,
Q(-1)=3(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+(-1)-2=3-1+1-1-2=0,
logo x=-1 é raiz de Q(x).

Passo 5

Dividindo Q(x) por (x+1) via sintética com -1, usando coeficientes
(3,,1,,1,,1,,-2),
obtemos como quociente
3x^3 - 2x^2 + 3x - 2

Passo 6

Chamando
R(x)=3x^3 - 2x^2 + 3x - 2,
testamos novamente os candidatos e encontramos
Rl(tfrac23r)=3l(tfrac23r)^3-2l(tfrac23r)^2+3l(tfrac23r)-2=0
Logo x=tfrac23 é raiz de R(x).

Passo 7

Dividindo R(x) por l(x-tfrac23r) via sintética com tfrac23, chegamos a
3x^2+3=3l(x^2+1r),
cuja equação x^2+1=0 não admite raízes racionais.

Resposta

As raízes racionais de P(x) são
x=1, x=-1, x=tfrac23

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