Determine as raízes racionais dos polinômios:
P(x)=3 x^5-2 x^4-3 x+2

Passo 1

Resumimos que devemos achar as raízes racionais do polinômio
P(x)=3x^5-2x^4-3x+2
O conteúdo usado será o Teorema das Raízes Racionais, que diz que toda raiz racional em forma irreduzível satisfaz que divide o termo constante e divide o coeficiente líder. Para resolver, vamos listar os candidatos, testar e depois usar divisão sintética para fatorar.

Passo 2

Os candidatos racionais são os divisores de pm1,;pm2,;pmtfrac13,;pmtfrac23 sobre os divisores de P(1)=3-2-3+2=0, , ou seja
Testando :
logo é raiz.

Passo 3

Para retirar o fator 3x^4 + x^3 + x^2 + x - 2 fazemos divisão sintética de por . Com coeficientes

e síntese em , obtemos como quociente

Passo 4

Chamando
Q(x)=3x^4 + x^3 + x^2 + x - 2,
testamos de novo os candidatos. Em particular,
Q(-1)=3(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+(-1)-2=3-1+1-1-2=0,
logo é raiz de .

Passo 5

Dividindo 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 por via sintética com , usando coeficientes
,
obtemos como quociente

Passo 6

Chamando
R(x)=3x^3 - 2x^2 + 3x - 2,
testamos novamente os candidatos e encontramos
Rl(tfrac23r)=3l(tfrac23r)^3-2l(tfrac23r)^2+3l(tfrac23r)-2=0
Logo é raiz de .

Passo 7

Dividindo 3x^2+3=3l(x^2+1r), por via sintética com , chegamos a
cuja equação não admite raízes racionais.

Resposta

As raízes racionais de x=1, x=-1, x=tfrac23 são

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