Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-1}+a_{n-4}

Passo 1

No enunciado temos a relação de recorrência
a_{n} = a_{n-1} + a_{n-4}.
O conteúdo aqui é identificar se ela é linear e homogênea com coeficientes constantes e, em caso afirmativo, determinar seu grau (ordem).

Passo 2

Para ser uma recorrência linear é necessário que a_n seja combinação linear dos termos anteriores com coeficientes que não dependem de n. Podemos reescrever
a_{n} = 1\cdot a_{n-1} + 0\cdot a_{n-2} + 0\cdot a_{n-3} + 1\cdot a_{n-4}.
Os coeficientes são constantes 1,0,0,1, logo é linear com coeficientes constantes.
É homogênea porque não há termo independente (nenhuma função de n isolada, apenas combinação das a_k).

Passo 3

O grau (ordem) de uma recorrência linear homogênea é o maior intervalo entre índices entre os termos envolvidos. Aqui o termo mais atrasado é a_{n-4}, portanto a ordem é 4.

Resposta

A relação é linear e homogênea com coeficientes constantes e de grau 4.

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