Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se a relação
é uma recorrência linear e homogênea de coeficientes constantes, e, em caso afirmativo, determinar seu grau (ordem). Para isso, vamos usar a definição: uma relação de recorrência de ordem
com coeficientes constantes e não necessariamente homogênea tem a forma
é homogênea se e somente se
, e seu grau (ou ordem) é
, o maior deslocamento de índice.
Passo 2
Escrevemos a relação dada no formato padrão, destacando a parte que envolve termos anteriores e o termo independente. Aqui não há menção a
, logo podemos vê-la como
Isto é,
(e não há outros
) e
.
Passo 3
Verificamos a homogeneidade: como o termo independente é
, a relação não é homogênea.
Verificamos a linearidade e os coeficientes: os coeficientes dos termos são constantes (aqui todos iguais a zero), então é uma relação linear de coeficientes constantes, porém não homogênea.
Verificamos a linearidade e os coeficientes: os coeficientes dos termos
Passo 4
O grau (ordem) da recorrência é o maior deslocamento de índice que aparece multiplicando algum
. Como não aparece nenhum termo
com
, o grau é
Resposta
A relação
é uma recorrência linear de coeficientes constantes, mas não homogênea, e tem grau (ordem)
.