Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=3

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a relação
a_{n}=3
é uma recorrência linear e homogênea de coeficientes constantes, e, em caso afirmativo, determinar seu grau (ordem). Para isso, vamos usar a definição: uma relação de recorrência de ordem k com coeficientes constantes e não necessariamente homogênea tem a forma
a_{n}+c_{1}a_{n-1}+\cdots+c_{k}a_{n-k}=g(n),
é homogênea se e somente se g(n)\equiv0, e seu grau (ou ordem) é k, o maior deslocamento de índice.

Passo 2

Escrevemos a relação dada no formato padrão, destacando a parte que envolve termos anteriores e o termo independente. Aqui não há menção a a_{n-1},a_{n-2},\dots, logo podemos vê-la como
a_{n}=0\cdot a_{n-1}+3.
Isto é, c_{1}=0 (e não há outros c_{i}) e g(n)=3.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade: como o termo independente é g(n)=3\neq0, a relação não é homogênea.
Verificamos a linearidade e os coeficientes: os coeficientes dos termos a_{n-1},a_{n-2},\dots são constantes (aqui todos iguais a zero), então é uma relação linear de coeficientes constantes, porém não homogênea.

Passo 4

O grau (ordem) da recorrência é o maior deslocamento de índice que aparece multiplicando algum a_{n-j}. Como não aparece nenhum termo a_{n-j} com j\ge1, o grau é k=0.

Resposta

A relação a_{n}=3 é uma recorrência linear de coeficientes constantes, mas não homogênea, e tem grau (ordem) 0.

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