Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-1}^{2}+a_{n-2}

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência
a_{n} = a_{n-1}^{2} + a_{n-2}
e pede para verificar se ela é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes e, em caso afirmativo, encontrar seu grau.

Passo 2

Uma recorrência é dita linear se cada termo a_{n-k} aparece apenas à primeira potência e nunca em produto ou potência não trivial; é homogênea quando não há termo extra independente dos a_{n-k}; e tem coeficientes constantes se os multiplicadores de cada a_{n-k} não dependem de n. O grau (ou ordem) de uma recorrência linear homogênea é o maior deslocamento k para o qual aparece a_{n-k}.

Passo 3

Na relação dada aparece o termo a_{n-1}^{2}, que é uma potência do termo anterior, ou seja, um comportamento não linear. Por causa desse quadrado, não se trata de combinação linear dos termos passados. Logo, a recorrência não é linear (e portanto não é linear homogênea com coeficientes constantes).

Resposta

Nenhuma: a_{n}=a_{n-1}^{2}+a_{n-2} não é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes (portanto não há grau a atribuir dentro dessa classe).

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