Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=3 a_{n-2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a relação de recorrência
a_{n} = 3\,a_{n-2}
é uma recorrência linear homogênea de coeficientes constantes e, em caso afirmativo, determinar seu grau. Para isso, vamos lembrar que uma recorrência é dita linear homogênea de coeficientes constantes se puder ser escrita como
a_{n} + c_{1}a_{n-1} + \cdots + c_{k}a_{n-k} = 0
com c_{1},\dots,c_{k} constantes e sem termos independentes.

Passo 2

Reescrevendo a relação dada na forma padrão, temos
a_{n} - 3\,a_{n-2} = 0.
Aqui os coeficientes que multiplicam a_{n} e a_{n-2} são, respectivamente, 1 e -3, ambos constantes, e não aparece nenhum termo independente (função de n sem envolver a_{n}). Logo, é de fato uma recorrência linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 3

O grau (ou ordem) da recorrência é o maior “salto” de índice entre n e os termos anteriores. Como o termo mais atrasado é a_{n-2}, o grau é
n - (n-2) = 2.

Resposta

A relação
a_{n}=3\,a_{n-2}
é uma recorrência linear homogênea com coeficientes constantes de grau 2.

Exercícios de Livros Relacionados