Determine se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) O conjunto dos números naturais é finito.
b) A soma de dois números irracionais pode ser um número irracional.
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
d) O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.
a) O conjunto dos números naturais é finito.
b) A soma de dois números irracionais pode ser um número irracional.
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
d) O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre o conjunto dos números naturais e sobre soma e produto de números irracionais como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar o conceito de conjunto finito vs. infinito e apresentar exemplos concretos para somas e produtos de irracionais.
Passo 2
Sentença (a): “O conjunto dos números naturais é finito.”
Por definição, o conjunto dos naturais não tem último elemento e continua indefinidamente; ele é infinito.
Logo, (a) é falsa.
Por definição, o conjunto dos naturais
Logo, (a) é falsa.
Passo 3
Sentença (b): “A soma de dois números irracionais pode ser um número irracional.”
Basta dar um exemplo. Tome e
. Suponha, para fins de contradição, que
Basta dar um exemplo. Tome
Então
. Ao quadrar ambos os lados teríamos
o que é absurdo. Logo
é irracional e (b) é verdadeira.
Passo 4
Sentença (c): “A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.”
Contraexemplo: e
são ambos irracionais, mas
Contraexemplo:
Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Sentença (d): “O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.”
Exemplo clássico: e
são irracionais, mas
Exemplo clássico:
Portanto, (d) é verdadeira.
Passo 6
Sentença (e): “O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.”
Contraexemplo: e
são irracionais, e
Contraexemplo:
Logo a afirmação é falsa.
Resposta
a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
b) V
c) F
d) V
e) F