Determine se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) O conjunto dos números naturais é finito.
b) A soma de dois números irracionais pode ser um número irracional.
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
d) O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre o conjunto dos números naturais e sobre soma e produto de números irracionais como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar o conceito de conjunto finito vs. infinito e apresentar exemplos concretos para somas e produtos de irracionais.

Passo 2

Sentença (a): “O conjunto dos números naturais é finito.”
Por definição, o conjunto dos naturais \mathbb{N} não tem último elemento e continua indefinidamente; ele é infinito.
Logo, (a) é falsa.

Passo 3

Sentença (b): “A soma de dois números irracionais pode ser um número irracional.”
Basta dar um exemplo. Tome x=\sqrt{2} e y=\sqrt{3}. Suponha, para fins de contradição, que
x+y = r \in \mathbb{Q}.
Então \sqrt{3}=r-\sqrt{2}. Ao quadrar ambos os lados teríamos
3 = r^2 + 2 - 2r\sqrt{2}
2r\sqrt{2} = r^2 - 1
\sqrt{2} = \frac{r^2-1}{2r}\in\mathbb{Q},
o que é absurdo. Logo \sqrt{2}+\sqrt{3} é irracional e (b) é verdadeira.

Passo 4

Sentença (c): “A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.”
Contraexemplo: x=\sqrt{2} e y=-\sqrt{2} são ambos irracionais, mas
x+y = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\in\mathbb{Q}.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Sentença (d): “O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.”
Exemplo clássico: x=\sqrt{2} e y=\sqrt{2} são irracionais, mas
x\cdot y = \sqrt{2}\times\sqrt{2} = 2\in\mathbb{Q}.
Portanto, (d) é verdadeira.

Passo 6

Sentença (e): “O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.”
Contraexemplo: x=\sqrt{2} e y=\sqrt{3} são irracionais, e
x\cdot y = \sqrt{6}\notin\mathbb{Q}.
Logo a afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) V
e) F

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