Qual é o valor de x=\sqrt{0,444 \ldots}+\frac{16}{0,888 \ldots} ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre
x = \sqrt{0,444\ldots} \;+\;\frac{16}{0,888\ldots}.
O conteúdo aqui é conversão de decimal periódico em fração e depois operações com frações e raiz quadrada.

Passo 2

Vamos converter 0,444\ldots (que é 0,\overline{4}) em fração. Seja
y = 0,\overline{4}.
Multiplicando por 10,
10y = 4,\overline{4}.
Subtraindo as duas equações,
10y - y = 4,\overline{4} - 0,\overline{4} \quad\Longrightarrow\quad 9y = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{4}{9}.

Passo 3

De modo análogo, para 0,888\ldots (ou seja, 0,\overline{8}), seja
z = 0,\overline{8}.
Multiplicando por 10 e subtraindo, obtemos
9z = 8 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{8}{9}.

Passo 4

Agora, calculamos a raiz quadrada de y:
\sqrt{y} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Em seguida, calculamos a fração com z:
\frac{16}{z} = \frac{16}{\tfrac{8}{9}} = 16 \times \frac{9}{8} = 2 \times 9 = 18.

Passo 6

Por fim, somamos os dois resultados:
x = \frac{2}{3} + 18 = \frac{2}{3} + \frac{54}{3} = \frac{56}{3}.

Resposta

x = \frac{56}{3}.

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