Determine m para que se tenha para forall x in R.
x^2+m x+1x^2+1<2

Passo 1

O enunciado pede determinar o conjunto de valores de m tais que, para todo xinR, valha
x^2+m x+1x^2+1<2
O conteúdo principal é manipular inequações racionais e reduzir a uma condição de positividade de uma função quadrática.

Passo 2

Como x^2+1>0 para todo x, podemos multiplicar ambos os lados de forma equivalente:
x^2+m x+1x^2+1<2 Long<=ftrightarrow x^2+m x+1<2l(x^2+1r)

Passo 3

Desenvolvendo e recolhendo termos em um só lado, obtemos:
x^2+m x+1<2x^2+2 Long<=ftrightarrow 0<2x^2+2-l(x^2+m x+1r) Long<=ftrightarrow x^2-m x+1>0

Passo 4

Para que a função quadrática
f(x)=x^2-m x+1
seja estritamente positiva para todo xinR, é necessário e suficiente que o coeficiente líder seja positivo (aqui 1>0) e o discriminante seja negativo. O discriminante é
De<a = (-m)^2-4cdot1cdot1 = m^2-4
Impondo De<a<0 resulta em
m^2-4<0 Long<=ftrightarrow m^2<4 Long<=ftrightarrow -2<m<2

Passo 5

Concluímos que a desigualdade original vale para todo xinR exatamente quando
min(-2,2)

Resposta

min(-2,2)

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