Determine m para que se tenha para forall x in R :
x^2+(2 m-1) x+(m^2-2)>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de m tais que, para todo xinR,
x^2 + (2m-1)x + (m^2-2) > 0
Isso é um critério de positividade de uma função quadrática.

Passo 2

Para a função quadrática
f(x) = x^2 + (2m-1)x + (m^2-2)
temos os coeficientes
a = 1, b = 2m-1, c = m^2-2
Como a=1>0, a parábola abre para cima. Portanto basta exigir que o discriminante seja estritamente negativo.

Passo 3

O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = (2m-1)^2 - 4cdot1cdot(m^2-2) = 4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 + 8 = -4m + 9
A condição de positividade em toda a reta é
De<a < 0 Longrightarrow -4m + 9 < 0

Passo 4

Resolvendo a desigualdade
-4m + 9 < 0 Longrightarrow -4m < -9 Longrightarrow m > 94

Resposta

m > tfrac94.

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