Ache o domínio da função y=raiz-x+5x^2+x-6, em R.

Passo 1

O enunciado pede o domínio em R da função
y = raiz-x+5x^2+x-6
Para que a raiz quadrada seja real, é preciso que o quociente dentro dela seja maior ou igual a zero e que o denominador não seja zero. Logo, vamos resolver a inequação
-x+5x^2+x-6>= 0,
junto com a condição x^2+x-6neq 0.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
-x+5 = 5 - x, x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)
Os pontos críticos são as raízes de numerador e denominador, isto é, x=5, x=-3 e x=2. Em x=5 a expressão pode valer zero; em x=-3 e x=2 o denominador zera, tornando a expressão indefinida.

Passo 3

Analisamos o sinal de 5-x(x+3)(x-2) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
bul<=t,Em (- infty,-3), por exemplo x=-4:
numerador 5-(-4)=9>0,
denominador (-4+3)(-4-2)=(-1)cdot(-6)=6>0,
quociente >0.
bul<=t,Em (-3,2), por exemplo x=0:
numerador 5>0,
denominador (3)cdot(-2)=-6<0,
quociente <0.
bul<=t,Em (2,5), por exemplo x=3:
numerador 5-3=2>0,
denominador (6)cdot(1)=6>0,
quociente >0.
bul<=t,Em (5,infty), por exemplo x=6:
numerador 5-6=-1<0,
denominador (9)cdot(4)=36>0,
quociente <0.

Passo 4

Como queremos 5-x(x+3)(x-2)>=0, aceitamos os intervalos onde o quociente é positivo e também o ponto onde ele é zero. O numerador zera em x=5, e aí a expressão vale zero (permitido na raiz). Já em x=-3 e x=2 o denominador zera, logo esses pontos são excluídos.

Resposta

O domínio da função é
(-infty,-3);cup;(2,5]

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