Determine m de modo que a equação do 2 : grau (m-2) x^2+(3 m-1) x+(m+1)=0 tenha raízes de sinais opostos.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m para que a equação do 2.º grau
(m-2)x^2 + (3m-1)x + (m+1) = 0
tenha raízes reais de sinais opostos.
Conteúdo usado: em uma equação ax^2+bx+c=0, raízes de sinais opostos ocorrem se e somente se:
  1. aneq0 (para ser realmente de 2.º grau),
  2. as raízes são reais ( De<a>=0),
  3. o produto das raízes é negativo ( dfracca<0).

Passo 2

Verificamos a = m-2. Para a equação ser de 2.º grau precisamos ter
m-2 neq 0 Longrightarrow m neq 2

Passo 3

O produto das raízes é dfracca = dfracm+1m-2. Queremos
m+1m-2 < 0
Isto acontece exatamente quando numerador e denominador têm sinais opostos:
  • m+1>0 e m-2<0 Longrightarrow -1<m<2.
  • A outra possibilidade ( m+1<0 e m-2>0) não ocorre simultaneamente.
    Logo a condição de produto negativo dá
-1 < m < 2

Passo 4

O discriminante é
De<a = (3m-1)^2 ;-;4,(m-2),(m+1) =9m^2-6m+1 ;-;4(m^2-m-2) =5m^2-2m+9
Como o polinômio 5m^2-2m+9 tem discriminante negativo e coeficiente líder positivo, ele é sempre >0 para todo m. Assim De<a>0 para todo m e não impõe restrição adicional.

Resposta

-1 < m < 2.

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