Determine todos os números x reais que satisfazem a equação dada.
5^{x}=e^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação exponencial
5^{x} = e^{3}.
O conteúdo é equações exponenciais e vamos usar a propriedade de logaritmo natural para “trazer” o expoente à base do logaritmo.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Como \ln é a função inversa da exponencial de base e, temos
\ln\bigl(5^{x}\bigr) \;=\;\ln\bigl(e^{3}\bigr).

Passo 3

Usando a propriedade \ln(a^{b}) = b\,\ln(a) e sabendo que \ln(e^{3})=3, obtemos
x\,\ln(5) = 3.
Para isolar x, dividimos por \ln(5), que é diferente de zero:
x = \frac{3}{\ln(5)}.

Resposta

x = \frac{3}{\ln(5)}.

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