Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
x y=16 y^{2}+x

Passo 1

O enunciado define a curva implícita
x\,y = 16\,y^{2} + x
e pede os pontos onde a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical. O conteúdo principal é derivação implícita para encontrar
\frac{dy}{dx}
e, a partir dela, determinar onde \frac{dy}{dx}=0 (horizontal) e onde \frac{dy}{dx} é indefinida (vertical).

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x\,y = 16\,y^{2} + x
em relação a x, usando que \frac{d}{dx}(x\,y)=y + x\,\frac{dy}{dx} e \frac{d}{dx}(16y^2)=32y\,\frac{dy}{dx} e \frac{d}{dx}(x)=1, obtemos
y + x\,\frac{dy}{dx} = 32y\,\frac{dy}{dx} + 1.
Reagrupando para \frac{dy}{dx} segue
x\,\frac{dy}{dx} - 32y\,\frac{dy}{dx} = 1 - y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y}{\,x - 32y\,}.

Passo 3

Para tangente horizontal, impomos \frac{dy}{dx}=0. Isso exige numerador nulo:
1 - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Substituindo y=1 na curva x\cdot1 = 16\cdot1^{2} + x
x = 16 + x \quad\Longrightarrow\quad 0 = 16,
que não tem solução. Logo, não há pontos de tangente horizontal.

Passo 4

Para tangente vertical, a derivada fica indefinida quando o denominador se anula e o numerador é não nulo. Assim
x - 32y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 32y,
com 1 - y \neq 0 (isto é, y \neq 1). Substituindo x=32y na curva inicial:
(32y)\,y = 16\,y^{2} + 32y \quad\Longrightarrow\quad 32y^{2} = 16y^{2} + 32y \quad\Longrightarrow\quad 16y^{2} - 32y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 16y(y - 2)=0.
Dessa equação vêm y=0 ou y=2. Então
x = 32y \quad\Longrightarrow\quad (x,y) = (32\cdot0,0) = (0,0) \quad\text{ou}\quad (x,y) = (32\cdot2,2) = (64,2).
Verificamos y\neq1 nesses pontos, então o numerador 1-y é não nulo. Portanto ambas as soluções são válidas e correspondem a tangentes verticais.

Resposta

(a) Não há pontos de tangente horizontal.
(b) Os pontos de tangente vertical são (0,0) e (64,2).

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