Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
Passo 1
O enunciado define a curva implícita
e pede os pontos onde a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical. O conteúdo principal é derivação implícita para encontrar
e, a partir dela, determinar onde
(horizontal) e onde
é indefinida (vertical).
Passo 2
Derivando ambos os lados de
em relação a
, usando que
e
e
, obtemos
Reagrupando para
segue
Passo 3
Para tangente horizontal, impomos
. Isso exige numerador nulo:
Substituindo
na curva
dá
que não tem solução. Logo, não há pontos de tangente horizontal.
Passo 4
Para tangente vertical, a derivada fica indefinida quando o denominador se anula e o numerador é não nulo. Assim
com
(isto é,
). Substituindo
na curva inicial:
Dessa equação vêm
ou
. Então
Verificamos
nesses pontos, então o numerador
é não nulo. Portanto ambas as soluções são válidas e correspondem a tangentes verticais.
Resposta
(a) Não há pontos de tangente horizontal.
(b) Os pontos de tangente vertical são e
.
(b) Os pontos de tangente vertical são