Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
x^{2}+x y+y=3

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}+x\,y+y=3
e pede os pontos em que a reta tangente é (a) horizontal ( \tfrac{dy}{dx}=0) e (b) vertical ( \tfrac{dy}{dx} indefinido). Para isso vamos usar diferenciação implícita.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(x\,y)+\frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3)\quad\Longrightarrow\quad 2x + \bigl(x\tfrac{dy}{dx}+y\bigr) + \tfrac{dy}{dx} =0.
Agrupando os termos de \tfrac{dy}{dx}:
\tfrac{dy}{dx}\,(x+1)+(2x+y)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{\,x+1\,}\,.

Passo 3

Para reta tangente horizontal, imponho \tfrac{dy}{dx}=0, ou seja
2x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=-2x.
Substituo na equação da curva:
x^{2}+x(-2x)+(-2x)=3 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2}-2x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+2x+3=0,
que não tem solução real. Logo não há pontos com tangente horizontal.

Passo 4

Para reta tangente vertical, imponho denominador zero:
x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Mas em x=-1 a curva ficaria
(-1)^{2}+(-1)y+y=1\neq3,
ou seja não há valor de y que satisfaça. Logo não há pontos com tangente vertical.

Resposta

Não existem pontos na curva cuja reta tangente seja horizontal nem vertical.

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