Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
x^{2}-x y+y^{2}=3

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^{2} - x\,y + y^{2} = 3
e pede os pontos em que a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical. Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e, em seguida, aplicar as condições \tfrac{dy}{dx}=0 (horizontal) e denominador nulo (vertical).

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x cada termo de
x^{2} - x\,y + y^{2} = 3
temos
\frac{d}{dx}(x^2)=2x,\quad \frac{d}{dx}(-x\,y)=-\bigl(y + x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr),\quad \frac{d}{dx}(y^2)=2y\,\tfrac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}(3)=0.
Somando tudo:
2x - \bigl(y + x\,y'\bigr) + 2y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad (-x + 2y)\,y' + 2x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{y - 2x}{2y - x}.

Passo 3

Para reta tangente horizontal, impomos y'=0, ou seja
y - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=2x.
Substituindo em x^{2}-x y+y^{2}=3:
x^{2}-x(2x)+(2x)^{2}=3x^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1,
logo y=2x dá os pontos
(1,2) e (-1,-2).

Passo 4

Para reta tangente vertical, impomos denominador zero em
y'=\frac{y-2x}{2y-x} \quad\Longrightarrow\quad 2y-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2y.
Na equação da curva:
(2y)^{2}-(2y)y+y^{2}=3y^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm1,
logo x=2y dá os pontos
(2,1) e (-2,-1).

Resposta

(a) Pontos com reta tangente horizontal: (1,2) e (-1,-2).\n(b) Pontos com reta tangente vertical: (2,1) e (-2,-1).

Exercícios de Livros Relacionados