Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede os pontos em que a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical. Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter
e, em seguida, aplicar as condições
(horizontal) e denominador nulo (vertical).
Passo 2
Diferenciando implicitamente em relação a
cada termo de
temos
Somando tudo:
Passo 3
Para reta tangente horizontal, impomos
, ou seja
Substituindo em
:
logo
dá os pontos
e
.
Passo 4
Para reta tangente vertical, impomos denominador zero em
Na equação da curva:
logo
dá os pontos
e
.
Resposta
(a) Pontos com reta tangente horizontal:
e
.\n(b) Pontos com reta tangente vertical:
e
.