Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
x^{3}-y^{2}=5

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^{3}-y^{2}=5
e pede que a derivada \frac{dy}{dx} seja obtida de duas formas:
– (a) por derivação implícita;
– (b) resolvendo primeiro para y e depois derivando a expressão explícita.

Passo 2

Derivação implícita. Tratando y como função de x, derivamos ambos os lados de
x^{3}-y^{2}=5
em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)\;-\;\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)\;=\;\frac{d}{dx}(5)
3x^{2}\;-\;2y\,\frac{dy}{dx}\;=\;0
Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
-2y\,\frac{dy}{dx}=-3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2y}.

Passo 3

Derivação explícita. Primeiro, resolvemos para y:
y^{2}=x^{3}-5 \;\Longrightarrow\; y=\pm\sqrt{x^{3}-5}.
Agora derivamos cada ramo
\frac{dy}{dx} =\pm\frac{d}{dx}\Bigl(\sqrt{x^{3}-5}\Bigr) =\pm\frac{1}{2\sqrt{x^{3}-5}}\cdot 3x^{2} =\frac{3x^{2}}{2\,(\pm\sqrt{x^{3}-5})}.
Como \pm\sqrt{x^{3}-5}=y em cada ramo, concluímos
\frac{dy}{dx} =\frac{3x^{2}}{2y},
que é exatamente o mesmo resultado da derivação implícita.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2y}.

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