Determine o valor extremo absoluto para cada função no intervalo. Então esboce o gráfico da função, identi-
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
18.
(Dica: Em primeiro lugar trace a parábola e depois tire a raiz quadrada.)
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
18.
(Dica: Em primeiro lugar trace a parábola e depois tire a raiz quadrada.)
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no intervalo
. O conteúdo é otimização de função diferenciável em intervalo fechado: vamos achar pontos críticos pela derivada e comparar valores em pontos críticos e nas extremidades.
Passo 2
Definimos a função interna à raiz
que é uma parábola aberta para baixo com vértice em
. Como
, é preciso que
. As raízes de
são dadas por
portanto
está definida em
. Nosso intervalo
está contido aí.
Passo 3
Calculamos a derivada usando
logo
O numerador anula em
, que é o único ponto crítico interior.
Passo 4
Avaliamo f nos pontos relevantes:
Passo 5
Comparando os valores:
,
e
,
vemos que o máximo absoluto é
vemos que o máximo absoluto é
e o mínimo absoluto é
Passo 6
Para esboçar
: imagine a parábola invertida
com vértice em
cortando o eixo
em
e
. A raiz quadrada eleva o ramo não-negativo, fazendo
subir de
até
e depois descer suavemente até
. Marque no gráfico os pontos
como máximo e
como mínimo.
Resposta
Máximo absoluto em
, valor
.
Mínimo absoluto em , valor
.
Mínimo absoluto em