Determine o valor extremo absoluto para cada função no intervalo. Então esboce o gráfico da função, identi-
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
18. f(x)=\sqrt{3+2 x-x^{2}}, \quad-0,5 \leq x \leq 3
(Dica: Em primeiro lugar trace a parábola e depois tire a raiz quadrada.)

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x)=\sqrt{3+2x-x^2}
no intervalo [-0,5,3]. O conteúdo é otimização de função diferenciável em intervalo fechado: vamos achar pontos críticos pela derivada e comparar valores em pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Definimos a função interna à raiz
g(x)=3+2x-x^2,
que é uma parábola aberta para baixo com vértice em x=1. Como f(x)=\sqrt{g(x)}, é preciso que g(x)\ge0. As raízes de g são dadas por
-x^2+2x+3=0\;\Longrightarrow\;x=-1\quad\text{ou}\quad x=3,
portanto f está definida em [-1,3]. Nosso intervalo [-0,5,3] está contido aí.

Passo 3

Calculamos a derivada usando
f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\quad\text{com}\quad g'(x)=2-2x,
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f'(x)=\frac{2-2x}{2\,f(x)}=\frac{1-x}{f(x)}.
O numerador anula em x=1, que é o único ponto crítico interior.

Passo 4

Avaliamo f nos pontos relevantes:
f(1)=\sqrt{3+2\cdot1-1^2}=\sqrt{4}=2,
f(-0,5)=\sqrt{3+2(-0,5)-(-0,5)^2} =\sqrt{3-1-0,25} =\sqrt{\tfrac74} =\frac{\sqrt{7}}{2},
f(3)=\sqrt{3+2\cdot3-3^2}=\sqrt{0}=0.

Passo 5

Comparando os valores:
\tfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1,32,
2 e
0,
vemos que o máximo absoluto é
f(1)=2
e o mínimo absoluto é
f(3)=0.

Passo 6

Para esboçar y=f(x): imagine a parábola invertida g(x) com vértice em (1,4) cortando o eixo x em -1 e 3. A raiz quadrada eleva o ramo não-negativo, fazendo f subir de \bigl(-0,5,\tfrac{\sqrt7}{2}\bigr) até (1,2) e depois descer suavemente até (3,0). Marque no gráfico os pontos
\bigl(1,2\bigr) como máximo e \bigl(3,0\bigr) como mínimo.

Resposta

Máximo absoluto em (1,2), valor 2.
Mínimo absoluto em (3,0), valor 0.

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