Determine o valor de N , de modo que:
N=3 times 20^x tenha 56 edivisores;

Passo 1

O enunciado pede N tal que
N = 3 times 20^x
e N tenha 56 divisores.
Conteúdo envolvido: fatoração em primos e fórmula do número de divisores.

Passo 2

Fatoramos 20:
20 = 2^2 cdot 5
Logo,
20^x = 2^2x,5^x Longrightarrow N = 3 times 20^x = 2^2xcdot 3^1 cdot 5^x

Passo 3

Para um número com fatoração p1^a1p2^a2p3^a3, o total de divisores é
d(N) = (a1+1)(a2+1)(a3+1)
Aqui a1=2x, a2=1, a3=x, então
d(N) = (2x+1),(1+1),(x+1) = 2,(2x+1),(x+1)
Queremos d(N)=56, ou seja,
2,(2x+1),(x+1) = 56 Longrightarrow (2x+1),(x+1) = 28

Passo 4

Expandindo e igualando:
(2x+1)(x+1) = 2x^2 + 3x + 1 = 28 Longrightarrow 2x^2 + 3x - 27 = 0
O discriminante é
De<a = 3^2 - 4cdot2cdot(-27) = 9 + 216 = 225,
logo
x = -3 pm raiz2254 = -3 pm 154
A única solução inteira e não negativa é x = 3.

Passo 5

Substituindo x=3 em N:
N = 3 times 20^3 = 3 times 8000 = 24000

Resposta

N = 24000

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