Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações:
l)
\pi^{3} \in \mathbb{I}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \pi^3 pertence ao conjunto dos números irracionais \mathbb{I}. Vamos usar a definição de número irracional e o fato de que \pi é transcendental (logo irracional) para concluir sobre \pi^3.

Passo 2

Definição: um número x é irracional se x\notin\mathbb{Q}. Sabe-se, pelo Teorema de Lindemann–Weierstrass, que \pi é transcendental, ou seja, satisfaz nenhum polinômio não-nulo em \mathbb{Q}[X]. Em particular, \pi\notin\mathbb{Q}.

Passo 3

Suponha, por contradição, que \pi^3\in\mathbb{Q}. Então existem p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0, tais que
\pi^3 = \frac{p}{q}.
Logo \pi seria raiz do polinômio em \mathbb{Q}[X] X^3 - \frac{p}{q} = 0,
o que tornaria \pi um número algebraico. Mas sabemos que \pi é transcendental, absurdo. Portanto \pi^3\notin\mathbb{Q}, isto é, \pi^3\in\mathbb{I}.

Resposta

Verdadeiro (V)

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