Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações:
l)
\pi^{3} \in \mathbb{I}
l)
\pi^{3} \in \mathbb{I}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
pertence ao conjunto dos números irracionais
. Vamos usar a definição de número irracional e o fato de que
é transcendental (logo irracional) para concluir sobre
.
Passo 2
Definição: um número
é irracional se
. Sabe-se, pelo Teorema de Lindemann–Weierstrass, que
é transcendental, ou seja, satisfaz nenhum polinômio não-nulo em
. Em particular,
.
Passo 3
Suponha, por contradição, que
. Então existem
,
, tais que
Logo
seria raiz do polinômio em
o que tornaria
um número algebraico. Mas sabemos que
é transcendental, absurdo. Portanto
, isto é,
.
Resposta
Verdadeiro (V)