Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações, justificando sua resposta:
\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}.
O conteúdo envolve propriedades das raízes quadradas principais em { \mathbb{R}_{\ge0}}.

Passo 2

Lembrando a propriedade de radicais: se a\ge0 e b\ge0, então \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\,b},
pois ambas as raízes principais são não-negativas.

Passo 3

Aqui temos 2\ge0 e 3\ge0, então podemos aplicar a propriedade:
\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{2\cdot3}=\sqrt{6}.

Passo 4

Uma justificativa alternativa é elevar ambos os lados ao quadrado. Defina x=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} e y=\sqrt{6}. Então
x^2=(\sqrt{2}\,\sqrt{3})^2=2\cdot3=6, \quad y^2=(\sqrt{6})^2=6.
Como x\ge0 e y\ge0, concluímos x=y, isto é, \sqrt{2}\,\sqrt{3}=\sqrt{6}.

Resposta

Verdadeira (V)

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