Determine o vértice C de um triângulo A B C, de área igual a 2 , no qual A(3,-2), B(4,-1) e cujo baricentro está sobre a reta 2 x-y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede o vértice C=(x,y) de um triângulo ABC com A=(3,-2), B=(4,-1), de área igual a 2, cujo baricentro G pertence à reta
2x - y + 3 = 0
Para resolver precisamos usar (1) a fórmula do baricentro de um triângulo em função de A, B e C, e (2) a expressão da área em termos de determinante.

Passo 2

O baricentro é
G=l(3+4+x3,,-2-1+y3r)=l(7+x3,,y-33r)
Como G satisfaz 2xG - yG +3=0, temos
2cdot7+x3-y-33+3=0 Longrightarrow 2(7+x)-(y-3)+9=0 Longrightarrow 2x - y +26=0
ou seja
y = 2x + 26

Passo 3

A área do triângulo dada pelos vetores AB=B-A=(1,1) e AC=C-A=(x-3,y+2) é
Área = 12l|det[AB,AC]r| =2 ;Longrightarrow; l|det1 & x-31 & y+2r|=4 Á
Calculando o determinante:
det = 1cdot(y+2)-1cdot(x-3)=y+2 - x +3 = -x + y +5,
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|-x + y +5| = 4 Longrightarrow -x + y +5 = pm4,
que gera duas retas:
caso 1: -x + y +5 = 4 ;Longrightarrow; y = x -1,
caso 2: -x + y +5 = -4 ;Longrightarrow; y = x -9

Passo 4

Combinar a reta do baricentro y=2x+26 com a reta do caso 1 y=x-1:
x-1 = 2x+26 Longrightarrow x = -27, y = -27 -1 = -28
Assim uma solução é C=(-27,-28).

Passo 5

Combinar a reta do baricentro y=2x+26 com a reta do caso 2 y=x-9:
x-9 = 2x+26 Longrightarrow x = -35, y = -35 -9 = -44
Assim a outra solução é C=(-35,-44).

Resposta

Os possíveis vértices C são
C = (-27,-28) ou C = (-35,-44)

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