Num triângulo
, no qual
e
, toma-se
na reta
tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na razão
. Calcule as coordenadas de M.
Passo 1
O enunciado dá o triângulo
com vértices
,
e
, e pede o ponto
sobre a reta
tal que
Aqui usaremos:
- Parametrização de um ponto na reta
. - Cálculo de áreas de triângulos pelo determinante de vetores.
- Condição de razão de áreas.
Passo 2
Parametrizamos
ao longo de
. Seja
tal que
Como
e
, temos
, logo
Passo 3
As áreas dos triângulos podem ser expressas por determinantes:
A razão das áreas, sem o fator
tfrac12 , é
Passo 4
Calculemos os vetores relativos a
A(2,1) e a cada ponto:
Agora os determinantes:
Passo 5
Impondo a razão com valores absolutos,
Como buscamos
M entre
B e
C , temos
0<t<1 e
|t-1|=1-t . Assim,
Resposta
As coordenadas de
M são