Num triângulo A B C, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta B C tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na razão 14. Calcule as coordenadas de M.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo ABC com vértices A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), e pede o ponto M sobre a reta BC tal que
área(triang<= AMC)área(triang<= AMB) = 14 áá
Aqui usaremos:
  • Parametrização de um ponto na reta BC.
  • Cálculo de áreas de triângulos pelo determinante de vetores.
  • Condição de razão de áreas.

Passo 2

Parametrizamos M ao longo de BC. Seja tinR tal que
M = B + t,(C - B)
Como B(0,3) e C(-1,0), temos C-B = (-1,-3), logo
M = (0,3) + t,(-1,-3) = (-t,;3-3t)

Passo 3

As áreas dos triângulos podem ser expressas por determinantes:
área(triang<= AMC) = tfrac12,l|detl(CA,MAr)r|, área(triang<= AMB) = tfrac12,l|detl(BA,MAr)r| áá
A razão das áreas, sem o fator tfrac12, é
l|det(C-A,;M-A)r|l|det(B-A,;M-A)r| ;=;14

Passo 4

Calculemos os vetores relativos a A(2,1) e a cada ponto:
C - A = (-1 - 2,;0 - 1) = (-3, -1), B - A = (0 - 2,;3 - 1) = (-2, 2),
M - A = (-t - 2,;3 - 3t - 1) = (-t - 2,;2 - 3t)
Agora os determinantes:
det(C - A,;M - A) = -3 & -1 [-4pt] -t - 2 & 2 - 3t = -3(2 - 3t) - (-1)(-t - 2) = -6 + 9t - (t + 2) = 8t - 8,
det(B - A,;M - A) = -2 & 2 [-4pt] -t - 2 & 2 - 3t = -2(2 - 3t) - 2(-t - 2) = -4 + 6t + 2t + 4 = 8t ]

Passo 5

Impondo a razão com valores absolutos,
l|8t-8r|l|8tr| = 14 Longrightarrow |t-1|t = 14
Como buscamos M entre B e C, temos 0<t<1 e |t-1|=1-t. Assim,
1-tt = 14 Longrightarrow 1-t = t4 Longrightarrow 4 - 4t = t Longrightarrow 5t = 4 Longrightarrow t = 45

Resposta

As coordenadas de M são
M = l(-t,;3-3tr) = l(-tfrac45,;3 - 3cdottfrac45r) = l(-tfrac45,;tfrac35r)

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