Determine o volume de uma pirâmide de 8 cm de altura, sabendo que o plano formado pelos pontos médios de suas arestas laterais determina na pirâmide uma seção de 3 cm^2 de superfície.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide de altura ,8 cm cujo plano que passa pelos pontos médios de todas as arestas laterais gera uma seção de área ,3 cm^2. O conteúdo envolvido é semelhança de seções em pirâmides e cálculo de volume usando a fórmula
V = 13 Abase cdot h

Passo 2

Em qualquer pirâmide, uma seção determinada por um plano que corta cada aresta lateral no mesmo quociente t (medido a partir do vértice) é paralela à base e a razão linear entre a seção e a base é t. Aqui, como o plano passa pelos pontos médios das arestas, temos
t = tfrac12

Passo 3

A razão entre as áreas da seção e da base é o quadrado da razão linear, logo
AseçãoAbase = t^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14 çã
Como Aseção=3 cm^2çã, segue que
Abase = 4cdot Aseção = 4cdot3 = 12 cm^2 çã

Passo 4

Aplicamos a fórmula do volume da pirâmide:
V = 13,Abasecdot h = 13times12 cm^2times8 cm = 32 cm^3

Resposta

O volume da pirâmide é 32 cm^3.

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