Determine os zeros reais da função f(x)=x^4-3 x^2-4.

Solução

Queremos determinar x in R tal que x^4-3 x^2-4=0.
Fazendo a substituição z=x^2, vem:
z^2-3 z-4=0
cuja solução é z=4 ou z=-1, mas z=x^2; então:
x^2=4 Rightarrow x= pm 2
e
x^2=-1 Rightarrow nexists x in R
Logo, os zeros reais da função f(x)=x^4-3 x^2-4 são x=2 e x=-2.

Passo 1

O enunciado pede os zeros reais da função
f(x)=x^4-3x^2-4,
ou seja, resolver f(x)=0. O conteúdo é a solução de uma equação biquadrada, e vamos usar a substituição z=x^2 para reduzir a um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Fazendo a substituição z=x^2, a equação x^4-3x^2-4=0 fica
z^2-3z-4=0

Passo 3

Para resolver
z^2-3z-4=0
calculamos o discriminante
De<a =(-3)^2-4cdot1cdot(-4)=9+16=25,
logo as raízes são
z = 3pmraiz252 = 3pm52,
isto é,
z1=4 e z2=-1

Passo 4

Voltando à variável x, temos z=x^2. Como x^2>=0, descartamos z2=-1. Para z1=4 temos
x^2=4 Longrightarrow x=pm2

Resposta

Os zeros reais de f(x) são
x=-2 e x=2

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