Determine
de modo que o número
esteja compreendido entre as raízes da equação:
e
Passo 1
O enunciado pede os valores de
tais que a raiz
fique estritamente entre as duas raízes reais da equação
O conteúdo aqui é estudo de raízes de uma equação do 2.º grau: precisamos garantir que as raízes sejam reais e distintas (discriminante positivo e coeficiente de
) e ainda impor que
esteja entre elas usando o critério de sinal de
.
Passo 2
Seja
Para existirem duas raízes reais e distintas é necessário
Aqui
e
Passo 3
Para que
esteja entre as raízes de
vale o critério
pois, se
o gráfico abre para cima e dentro das raízes
é negativa, e o oposto se
. Calculamos
Logo
Como
, a desigualdade reduz-se a
Passo 4
Falta verificar que em
temos
e
.
- Em
claramente , logo . - A função
é contínua e, testando nas extremidades,
logo
para todo
.
Passo 5
Concluímos que, exatamente para
a equação tem duas raízes reais e distintas e
fica estritamente entre elas.