Determine m de modo que o número alpha esteja compreendido entre as raízes da equação:
(m^2-1) x^2+(m-3) x+m+1=0 e alpha=1

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a raiz alpha=1 fique estritamente entre as duas raízes reais da equação
l(m^2-1r)x^2+(m-3)x+(m+1)=0
O conteúdo aqui é estudo de raízes de uma equação do 2.º grau: precisamos garantir que as raízes sejam reais e distintas (discriminante positivo e coeficiente de x^2neq0) e ainda impor que 1 esteja entre elas usando o critério de sinal de f(1).

Passo 2

Seja
a=m^2-1, b=m-3, c=m+1
Para existirem duas raízes reais e distintas é necessário
aneq0 e De<a=b^2-4ac>0
Aqui
aneq0iff m^2-1neq0iff mneqpm1
e
De<a=(m-3)^2-4(m^2-1)(m+1) =-4m^3-3m^2-2m+13

Passo 3

Para que 1 esteja entre as raízes de ax^2+bx+c=0 vale o critério
acdot f(1)<0,
pois, se a>0 o gráfico abre para cima e dentro das raízes f é negativa, e o oposto se a<0. Calculamos
f(1)=acdot1^2+bcdot1+c =(m^2-1)+(m-3)+(m+1) =m^2+2m-3 =(m-1)(m+3)
Logo
acdot f(1) =(m^2-1)(m^2+2m-3) =(m-1)^2(m+1)(m+3)<0
Como (m-1)^2>=0, a desigualdade reduz-se a
(m+1)(m+3)<0 Longrightarrow -3<m<-1

Passo 4

Falta verificar que em -3<m<-1 temos aneq0 e De<a>0.
  1. Em -3<m<-1 claramente mneqpm1, logo aneq0.
  2. A função De<a(m)=-4m^3-3m^2-2m+13 é contínua e, testando nas extremidades,
De<a(-3)=100>0, De<a(-1)=16>0,
logo De<a(m)>0 para todo min(-3,-1).

Passo 5

Concluímos que, exatamente para
-3<m<-1,
a equação tem duas raízes reais e distintas e 1 fica estritamente entre elas.

Resposta

-3<m<-1

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