Como deveríamos proceder para transformar um polígono convexo de 100 lados em um triângulo equivalente?

Passo 1

O problema é pegar um polígono convexo de 100 lados e construir, por recortes e colagens (dissecção), um triângulo cuja área seja exatamente igual à do polígono. Para isso vamos usar dois ingredientes clássicos de geometria do recorte:
  • Triangulação de um vértice: dividir o polígono em n-2 triângulos que compartilham um mesmo vértice.
  • Colagem de dois triângulos com mesma altura: dois triângulos que têm a mesma altura relativa a bases disjuntas podem ser “colados” para formar um novo triângulo cuja base é a soma das duas bases originais, mantendo a mesma altura e portanto somando as áreas.

Passo 2

Sejam A1A2A3cdots A100 os vértices do polígono convexo, em ordem. Traçamos as diagonais de A1 para todos os vértices não adjacentes, ou seja, segmentamos com
A1A3,;A1A4,;dots,;A1A99
Isso particiona o polígono em 100-2=98 triângulos disjuntos de vértice comum A1:
De<a2 = De<a A1A2A3,;De<a3 = De<a A1A3A4,;dots,;De<a99 = De<a A1A99A100

Passo 3

Observe que cada triângulo De<ak = De<a A1AkAk+1 tem a mesma altura relativa à base AkAk+1, pois todos partem do mesmo vértice A1. A área de De<ak é
Área(De<ak) = tfrac12,h,l|AkAk+1r|, Á
onde h é a distância de A1 à reta que contém AkAk+1.
Agora, tomamos os dois primeiros triângulos De<a2 e De<a3. Eles têm alturas iguais (mesmo vértice A1) e bases A2A3 e A3A4. Se recortarmos De<a3 e deslocarmos rigidamente de modo que a base A3A4 fique alinhada e encostada à extensão de A2A3, formamos um novo triângulo De<a' de vértices A1,A2,A4. Sua base é A2A4 (soma das duas bases) e a altura continua h. Logo
Área(De<a') ;=;tfrac12,h,l|A2A4r| ;=;tfrac12,h,l(|A2A3|+|A3A4|r) ;=;Área(De<a2)+Área(De<a3) ÁÁÁ

Passo 4

Repetimos esse passo de forma indutiva: suponha que já construímos um triângulo De<a^(k) = De<a A1A2Ak+1 cuja área é a soma das áreas de De<a2,dots,De<ak. Pegamos então o próximo triângulo De<ak+1=De<a A1Ak+1Ak+2, que tem a mesma altura h e base Ak+1Ak+2. Colamos De<ak+1 à De<a^(k) alinhando A1Ak+1, o que produz um novo triângulo De<a^(k+1)=De<a A1A2Ak+2 de base A2Ak+2 e mesma altura h. A área de De<a^(k+1) é
tfrac12,h,|A2Ak+2| ;=; tfrac12,hl(|A2Ak+1|+|Ak+1Ak+2|r) ;=;Área(De<a^(k))+Área(De<ak+1) ÁÁ
Assim incorporamos o (k+1)-ésimo triângulo.

Passo 5

Seguindo esse procedimento até k=99, incorporamos todos os 98 triângulos iniciais. No fim, obtemos o triângulo
De<a^(99) ;=;De<a A1A2A100,
cuja área é exatamente a soma das áreas de De<a2,dots,De<a99, ou seja, a área do polígono original.

Resposta

Basta triangular o polígono a partir de um vértice A1, obtendo 98 triângulos De<a A1AkAk+1, e então ir colando sucessivamente cada triângulo ao triângulo formado até então (sempre respeitando a mesma altura) para, ao final, obter o triângulo De<a A1A2A100 de área igual à do polígono original.

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