Por um ponto de uma diagonal de um paralelogramo traçam-se paralelas aos lados. Prove que dois dos paralelogramos que se obtêm são equivalentes.
Passo 1
Vamos chamar de
o paralelogramo dado, com diagonais
e
. Escolhemos um ponto
sobre a diagonal
. Pelo enunciado, traçam-se por
duas retas:
– uma reta paralela a
(e a
),
– uma reta paralela a
(e a
).
Essas retas intersectam os lados de de modo a particionar o paralelogramo em quatro pequenos paralelogramos. Vamos mostrar que dois deles (os que tocam os vértices
e
) têm área igual, ou seja, são equivalentes.
– uma reta
– uma reta
Essas retas intersectam os lados de
Passo 2
Denotemos os pontos de interseção assim:
corta
em
e
em
.
corta
em
e
em
.
Assim obtemos quatro paralelogramos:
Assim obtemos quatro paralelogramos:
-
junto a , -
junto a , -
junto a , -
junto a .
Focaremos eme .
Passo 3
Seja
de modo que
.
Na , a reta
dá, por Teorema de Thales,
Na
Logo
Ainda em
, a reta
dá
então
Passo 4
O paralelogramo
tem lados
e
e altura igual à do
. Se
é o ângulo interno de
, a área de
é
Portanto
Passo 5
Do mesmo modo, em
a reta
dá
Assim o paralelogramo
, cujos lados são
e
, tem área
Passo 6
Comparando as fórmulas, vemos que
Logo os dois paralelogramos
e
são equivalentes (têm igual área).
Resposta
Os paralelogramos
e
têm área igual, portanto são equivalentes.