Por um ponto de uma diagonal de um paralelogramo traçam-se paralelas aos lados. Prove que dois dos paralelogramos que se obtêm são equivalentes.

Passo 1

Vamos chamar de ABCD o paralelogramo dado, com diagonais AC e BD. Escolhemos um ponto P sobre a diagonal AC. Pelo enunciado, traçam-se por P duas retas:
– uma reta ell1 paralela a AB (e a CD),
– uma reta ell2 paralela a AD (e a BC).
Essas retas intersectam os lados de ABCD de modo a particionar o paralelogramo em quatro pequenos paralelogramos. Vamos mostrar que dois deles (os que tocam os vértices B e D) têm área igual, ou seja, são equivalentes.

Passo 2

Denotemos os pontos de interseção assim:
ell1 corta AD em Q e BC em R.
ell2 corta AB em T e CD em S.
Assim obtemos quatro paralelogramos:
  1. ATQP junto a A,
  2. TBRP junto a B,
  3. PRCS junto a C,
  4. QPSD junto a D.
    Focaremos em TBRP e QPSD.

Passo 3

Seja
AP = m, PC = n,
de modo que AC = m+n.
Na triang<= ABC, a reta PTparal<=l ADparal<=l BC dá, por Teorema de Thales,
ATAB ;=;APAC ;=;mm+n
Logo
TB ;=; AB - AT ;=;l(1-mm+nr)AB ;=;nm+n,AB
Ainda em triang<= ABC, a reta PRparal<=l AB
PRBC ;=;APAC ;=;mm+n,
então
PR = mm+n,BC

Passo 4

O paralelogramo TBRP tem lados TB e PR e altura igual à do ABCD. Se theta é o ângulo interno de ABCD, a área de ABCD é
A(ABCD)=ABcdot BC;sintheta
Portanto
A(TBRP) =TB;cdot PR;sintheta =nm+n,AB;cdotmm+n,BC;sintheta =mn(m+n)^2, A(ABCD)

Passo 5

Do mesmo modo, em triang<= ADC a reta PQparal<=l ABparal<=l CD
QDAD=PCAC=nm+n e PSDC=APAC=mm+n
Assim o paralelogramo QPSD, cujos lados são QD e PS, tem área
A(QPSD) =QD;cdot PS;sintheta =nm+n,AD;cdotmm+n,DC;sintheta =mn(m+n)^2, A(ABCD)

Passo 6

Comparando as fórmulas, vemos que
A(TBRP)= A(QPSD) =mn(m+n)^2, A(ABCD)
Logo os dois paralelogramos TBRP e QPSD são equivalentes (têm igual área).

Resposta

Os paralelogramos TBRP e QPSD têm área igual, portanto são equivalentes.

Exercícios de Livros Relacionados