O diâmetro da base de um cone circular reto mede 3 m e a área da base é 25 da área total. Calcule o ângulo do setor circular que é o desenvolvimento da superfície lateral do cone.

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro da base de um cone é 3 m, então o raio da base é tfrac32=1,5 m, e que a área da base é tfrac25 da área total (base + lateral). O conteúdo aqui envolve relacionamento de áreas e desenvolvimento da superfície lateral de um cone em setor circular.

Passo 2

Calcular a área da base Ab. Como o raio é r=1,5 m,
Ab = pi r^2 = pi ,(1,5)^2 = 2,25,pi m^2

Passo 3

Usar a condição Ab = tfrac25(Ab + Al), onde Al é a área lateral.
Ab = 25(Ab + Al) Longrightarrow 5Ab = 2Ab + 2Al Longrightarrow 3Ab = 2Al Longrightarrow Al = 32Ab = 32times2,25pi = 3,375,pi m^2

Passo 4

Expressar a área lateral também por Al = pi r,l, onde l é a geratriz (slant height).
3,375,pi = picdot1,5cdot l Longrightarrow l = 3,375,pi1,5,pi = 2,25 m

Passo 5

No desenvolvimento lateral, temos um setor de círculo de raio l=2,25 cuja área é Al e cujo comprimento de arco vale a circunferência da base 2pi r=3pi. Seja theta o ângulo do setor em radianos, então
comprimento do arco = l,theta Longrightarrow l,theta = 3pi Longrightarrow theta = 3pi2,25 = 4pi3 rad
Convertendo para graus:
theta = 4pi3,radtimes180^circpi = 240^circ

Resposta

O ângulo do setor circular é 240^circ.

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