A planificação da superfície lateral de um cone de revolução é um setor circular de 90^circ. Calcule a razão entre o raio da base do cone e a geratriz do cone.

Solução

Ângulo do setor circular:
theta=360 rg graus =rg 360^circ.
Razão entre o raio da base do cone e a geratriz:
rg=theta360=90^circ360^circ=14

Passo 1

O enunciado diz que a superfície lateral de um cone, quando “desenrolada”, é um setor circular de ângulo 90^circ e raio igual à geratriz do cone, que chamamos de g. O raio da base do cone é r. Nosso objetivo é determinar a razão tfracrg. Para isso, vamos relacionar o comprimento do arco do setor com a circunferência da base do cone.

Passo 2

Em teoria, o comprimento de arco L de um setor de círculo de raio g e ângulo theta (em radianos) é
L = g,theta

Passo 3

A circunferência da base do cone, de raio r, é
C = 2pi r

Passo 4

Na planificação, o arco do setor corresponde exatamente à borda da base do cone, logo
g,theta = 2pi r

Passo 5

O setor tem ângulo de 90^circ, isto é,
theta = 90^circ = pi2 (radianos)
Substituindo em g,theta = 2pi r, vem
g cdot pi2 = 2pi r

Passo 6

Dividindo ambos os lados por pi e rearranjando, obtemos
g2 = 2r Longrightarrow r = g4 Longrightarrow rg = 14

Resposta

rg = 14

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